Matemática discreta Exemplos

$0 > - x^{2} + 7 x + 12$

Etapa 1

Reescreva de forma que $x$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$- x^{2} + 7 x + 12 < 0$

Etapa 2

Converta a desigualdade em uma equação.

$- x^{2} + 7 x + 12 = 0$

Etapa 3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4

Substitua os valores $a = - 1$ , $b = 7$ e $c = 12$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 12)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1 \cdot 12}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 1 \cdot 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4 \cdot 12}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 5.1.2.2

Multiplique $4$ por $12$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 48}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 5.1.3

Some $49$ e $48$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{97}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{97}}{- 2}$

Etapa 5.3

Simplifique $\frac{- 7 \pm \sqrt{97}}{- 2}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{97}}{2}$

Etapa 6

Consolide as soluções.

$x = \frac{7 + \sqrt{97}}{2}, \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$

Etapa 7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$

$\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$

$x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$

Etapa 8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Teste um valor no intervalo $x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 8.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$0 > - {(- 4)}^{2} + 7 (- 4) + 12$

Etapa 8.1.3

O lado esquerdo $0$ é maior do que o lado direito $- 32$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 8.2

Teste um valor no intervalo $\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 8.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$0 > - {(0)}^{2} + 7 (0) + 12$

Etapa 8.2.3

O lado esquerdo $0$ não é maior do que o lado direito $12$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 11$

Etapa 8.3.2

Substitua $x$ por $11$ na desigualdade original.

$0 > - {(11)}^{2} + 7 (11) + 12$

Etapa 8.3.3

O lado esquerdo $0$ é maior do que o lado direito $- 32$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ Verdadeiro

$\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ Falso

$x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ Verdadeiro

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ Verdadeiro

$\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ Falso

$x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ Verdadeiro

Etapa 9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ ou $x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2} or x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \frac{7 - \sqrt{97}}{2}) \cup (\frac{7 + \sqrt{97}}{2}, \infty)$

Etapa 11