Matemática discreta Exemplos

$\frac{x + 7}{- x - 5} < 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x + 7 = 0$

$- x - 5 = 0$

Etapa 2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Etapa 3

Some $5$ aos dois lados da equação.

$- x = 5$

Etapa 4

Divida cada termo em $- x = 5$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $- x = 5$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{5}{- 1}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{5}{- 1}$

Etapa 4.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{- 1}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida $5$ por $- 1$ .

$x = - 5$

Etapa 5

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - 7$

$x = - 5$

Etapa 6

Consolide as soluções.

$x = - 7, - 5$

Etapa 7

Encontre o domínio de $\frac{x + 7}{- x - 5}$ .

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Etapa 7.1

Defina o denominador em $\frac{x + 7}{- x - 5}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$- x - 5 = 0$

Etapa 7.2

Resolva $x$ .

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Etapa 7.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$- x = 5$

Etapa 7.2.2

Divida cada termo em $- x = 5$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 7.2.2.1

Divida cada termo em $- x = 5$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{5}{- 1}$

Etapa 7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{5}{- 1}$

Etapa 7.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{- 1}$

Etapa 7.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.3.1

Divida $5$ por $- 1$ .

$x = - 5$

Etapa 7.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Etapa 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 5$

$x > - 5$

Etapa 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 10$

Etapa 9.1.2

Substitua $x$ por $- 10$ na desigualdade original.

$\frac{(- 10) + 7}{- (- 10) - 5} < 0$

Etapa 9.1.3

O lado esquerdo $- 0.6$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 9.2

Teste um valor no intervalo $- 7 < x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 7 < x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 9.2.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{(- 6) + 7}{- (- 6) - 5} < 0$

Etapa 9.2.3

O lado esquerdo $1$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 9.3

Teste um valor no intervalo $x > - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 9.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) + 7}{- (0) - 5} < 0$

Etapa 9.3.3

O lado esquerdo $- 1.4$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 7$ Verdadeiro

$- 7 < x < - 5$ Falso

$x > - 5$ Verdadeiro

$x < - 7$ Verdadeiro

$- 7 < x < - 5$ Falso

$x > - 5$ Verdadeiro

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 7$ ou $x > - 5$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < - 7 or x > - 5$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 7) \cup (- 5, \infty)$

Etapa 12