Matemática discreta Exemplos

$\frac{x - 3}{3 x - 1} = \frac{x + 4}{2 x + 5}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{x + 4}{2 x + 5}$ dos dois lados da equação.

$\frac{x - 3}{3 x - 1} - \frac{x + 4}{2 x + 5} = 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{x - 3}{3 x - 1} - \frac{x + 4}{2 x + 5}$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{x - 3}{3 x - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x + 5}{2 x + 5}$ .

$\frac{x - 3}{3 x - 1} \cdot \frac{2 x + 5}{2 x + 5} - \frac{x + 4}{2 x + 5} = 0$

Etapa 2.2

Para escrever $- \frac{x + 4}{2 x + 5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$\frac{x - 3}{3 x - 1} \cdot \frac{2 x + 5}{2 x + 5} - \frac{x + 4}{2 x + 5} \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1} = 0$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(3 x - 1) (2 x + 5)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{x - 3}{3 x - 1}$ por $\frac{2 x + 5}{2 x + 5}$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + 5)}{(3 x - 1) (2 x + 5)} - \frac{x + 4}{2 x + 5} \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1} = 0$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{x + 4}{2 x + 5}$ por $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + 5)}{(3 x - 1) (2 x + 5)} - \frac{(x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(3 x - 1) (2 x + 5)$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + 5)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} - \frac{(x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x - 3) (2 x + 5) - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Expanda $(x - 3) (2 x + 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x + 5) - 3 (2 x + 5) - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 - 3 (2 x + 5) - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.5.2.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.2.1.3

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.2.1.4

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 6 x - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.2.1.5

Multiplique $- 3$ por $5$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 6 x - 15 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.2.2

Subtraia $6 x$ de $5 x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x - 15 + (- x - 1 \cdot 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 + (- x - 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.5

Expanda $(- x - 4) (3 x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.5.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - x (3 x - 1) - 4 (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - x (3 x) - x \cdot - 1 - 4 (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - x (3 x) - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.5.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 1 \cdot 3 x \cdot x - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.6.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.5.6.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 1 \cdot 3 (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.6.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 1 \cdot 3 x^{2} - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.6.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.6.1.4

Multiplique $- x \cdot - 1$ .

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Etapa 2.5.6.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} + 1 x - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.6.1.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} + x - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.6.1.5

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} + x - 12 x - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.6.1.6

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} + x - 12 x + 4}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.6.2

Subtraia $12 x$ de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} - 11 x + 4}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.7

Subtraia $3 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - x - 15 - 11 x + 4}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.8

Subtraia $11 x$ de $- x$ .

$\frac{- x^{2} - 12 x - 15 + 4}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.9

Some $- 15$ e $4$ .

$\frac{- x^{2} - 12 x - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.10

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.5.10.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 11 = 11$ e cuja soma é $b = - 12$ .

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Etapa 2.5.10.1.1

Fatore $- 12$ de $- 12 x$ .

$\frac{- x^{2} - 12 (x) - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.10.1.2

Reescreva $- 12$ como $- 1$ mais $- 11$

$\frac{- x^{2} + (- 1 - 11) x - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.10.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} - 1 x - 11 x - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.10.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.5.10.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) - 11 x - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.10.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (- x - 1) + 11 (- x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.10.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.6

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.7

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.8

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.9

Reescreva $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(x + 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{(x + 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$(2 x + 5) (3 x - 1) = 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x + 5 = 0$

$3 x - 1 = 0$

Etapa 4.2

Defina $2 x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Defina $2 x + 5$ como igual a $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Etapa 4.2.2

Resolva $2 x + 5 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 5$

Etapa 4.2.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 5$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.2.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 4.2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 4.2.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Etapa 4.2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{5}{2}$

Etapa 4.3

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.3.1

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Etapa 4.3.2

Resolva $3 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 x = 1$

Etapa 4.3.2.2

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 4.3.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 4.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 4.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Etapa 4.4

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x + 5) (3 x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{5}{2}, \frac{1}{3}$

Etapa 5

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - \frac{5}{2}, x = \frac{1}{3}$

Etapa 6