Matemática discreta Exemplos

$\frac{\log (\sqrt{x \sqrt{x}})}{\log (\sqrt[3]{x})}$

Etapa 1

Defina o denominador em $\frac{\log (\sqrt{x \sqrt{x}})}{\log (\sqrt[3]{x})}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\log (\sqrt[3]{x}) = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva $\log (\sqrt[3]{x}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{0} = \sqrt[3]{x}$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Reescreva a equação como $\sqrt[3]{x} = 10^{0}$ .

$\sqrt[3]{x} = 10^{0}$

Etapa 2.2.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = {(10^{0})}^{3}$

Etapa 2.2.3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(10^{0})}^{3}$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(10^{0})}^{3}$

Etapa 2.2.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(10^{0})}^{3}$

Etapa 2.2.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = {(10^{0})}^{3}$

Etapa 2.2.3.2.1.2

Simplifique.

$x = {(10^{0})}^{3}$

Etapa 2.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.1

Simplifique ${(10^{0})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.1.1

Multiplique os expoentes em ${(10^{0})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 10^{0 \cdot 3}$

Etapa 2.2.3.3.1.1.2

Multiplique $0$ por $3$ .

$x = 10^{0}$

Etapa 2.2.3.3.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x = 1$

Etapa 3

Defina o argumento em $\log (\sqrt{x \sqrt{x}})$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{x \sqrt{x}} \leq 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{x \sqrt{x}}}^{2} \leq 0^{2}$

Etapa 4.2

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x \sqrt{x}}$ como ${(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique ${({(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Etapa 4.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(x \sqrt{x})}^{1} \leq 0^{2}$

Etapa 4.2.2.1.2

Simplifique.

$x \sqrt{x} \leq 0^{2}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x \sqrt{x} \leq 0$

Etapa 4.3

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${(x \sqrt{x})}^{2} \leq 0^{2}$

Etapa 4.4

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Simplifique ${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1.1

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1.1.1

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

${(x^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Etapa 4.4.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(x^{1 + \frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Etapa 4.4.2.1.1.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

${(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Etapa 4.4.2.1.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(x^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Etapa 4.4.2.1.1.4

Some $2$ e $1$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Etapa 4.4.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Etapa 4.4.2.1.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Etapa 4.4.2.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{3} \leq 0^{2}$

Etapa 4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x^{3} \leq 0$

Etapa 4.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} \leq \sqrt[3]{0}$

Etapa 4.5.2

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$x \leq \sqrt[3]{0}$

Etapa 4.5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.1

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x \leq \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 4.5.2.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x \leq 0$

Etapa 5

Defina o argumento em $\log (\sqrt[3]{x})$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[3]{x} \leq 0$

Etapa 6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{x}}^{3} \leq 0^{3}$

Etapa 6.2

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} \leq 0^{3}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} \leq 0^{3}$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} \leq 0^{3}$

Etapa 6.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} \leq 0^{3}$

Etapa 6.2.2.1.2

Simplifique.

$x \leq 0^{3}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x \leq 0$

Etapa 7

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x < 0$

Etapa 8

Defina o radicando em $\sqrt{x \sqrt{x}}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x \sqrt{x} < 0$

Etapa 9

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${(x \sqrt{x})}^{2} < 0^{2}$

Etapa 9.2

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Simplifique ${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1.1

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1.1.1

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

${(x^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Etapa 9.2.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(x^{1 + \frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Etapa 9.2.2.1.1.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

${(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Etapa 9.2.2.1.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(x^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Etapa 9.2.2.1.1.4

Some $2$ e $1$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Etapa 9.2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Etapa 9.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Etapa 9.2.2.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{3} < 0^{2}$

Etapa 9.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x^{3} < 0$

Etapa 9.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Etapa 9.3.2

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Etapa 9.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.2.1

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 9.3.2.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x < 0$

Etapa 9.4

Encontre o domínio de $x \sqrt{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 9.4.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[0, \infty)$

Etapa 9.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$x > 0$

Etapa 9.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.6.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 9.6.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$(- 2) \sqrt{- 2} < 0$

Etapa 9.6.1.3

O lado esquerdo é diferente do lado direito, o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 9.6.2

Teste um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 9.6.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$(2) \sqrt{2} < 0$

Etapa 9.6.2.3

O lado esquerdo $2.82842712$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 9.6.3

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$x > 0$ Falso

$x < 0$ Falso

$x > 0$ Falso

Etapa 9.7

Como não há números que se enquadram no intervalo, essa desigualdade não tem solução.

Nenhuma solução

Etapa 10

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0, x = 1$

$(- \infty, 0] \cup [1, 1]$

Etapa 11