Matemática discreta Exemplos

$\frac{1}{1 - \sin^{2} (t)}$

Etapa 1

Defina o denominador em $\frac{1}{1 - \sin^{2} (t)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$1 - \sin^{2} (t) = 0$

Etapa 2

Resolva $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \sin^{2} (t) = - 1$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $- \sin^{2} (t) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $- \sin^{2} (t) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin^{2} (t)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\sin^{2} (t)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.2.2.2

Divida $\sin^{2} (t)$ por $1$ .

$\sin^{2} (t) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\sin^{2} (t) = 1$

Etapa 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (t) = \pm \sqrt{1}$

Etapa 2.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\sin (t) = \pm 1$

Etapa 2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sin (t) = 1$

Etapa 2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sin (t) = - 1$

Etapa 2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sin (t) = 1, - 1$

Etapa 2.6

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $t$ .

$\sin (t) = 1$

$\sin (t) = - 1$

Etapa 2.7

Resolva $t$ em $\sin (t) = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $t$ de dentro do seno.

$t = \arcsin (1)$

Etapa 2.7.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$t = \frac{π}{2}$

Etapa 2.7.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$t = π - \frac{π}{2}$

Etapa 2.7.4

Simplifique $π - \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$t = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.7.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$t = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.7.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$t = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 2.7.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$t = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 2.7.4.3.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$t = \frac{π}{2}$

Etapa 2.7.5

Encontre o período de $\sin (t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.7.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.7.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.7.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.7.6

O período da função $\sin (t)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.8

Resolva $t$ em $\sin (t) = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $t$ de dentro do seno.

$t = \arcsin (- 1)$

Etapa 2.8.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$t = - \frac{π}{2}$

Etapa 2.8.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$t = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 2.8.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$t = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 2.8.4.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$t = \frac{3 π}{2}$

Etapa 2.8.5

Encontre o período de $\sin (t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.8.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.8.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.8.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.8.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{2}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Etapa 2.8.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.8.6.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.8.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 2.8.6.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.6.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Etapa 2.8.6.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Etapa 2.8.6.5

Liste os novos ângulos.

$t = \frac{3 π}{2}$

Etapa 2.8.7

O período da função $\sin (t)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$t = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.9

Liste todas as soluções.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.10

Consolide as respostas.

$t = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

${t | t = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4