Matemática discreta Exemplos

$\frac{\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}{1 + \frac{4}{x}}$

Etapa 1

Defina o denominador em $\frac{4}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}{1 + \frac{4}{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$1 + \frac{4}{x} = 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\frac{4}{x} = - 1$

Etapa 4.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x, 1$

Etapa 4.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x$

Etapa 4.3

Multiplique cada termo em $\frac{4}{x} = - 1$ por $x$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{4}{x} = - 1$ por $x$ .

$\frac{4}{x} x = - x$

Etapa 4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{x} x = - x$

Etapa 4.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$4 = - x$

Etapa 4.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Reescreva a equação como $- x = 4$ .

$- x = 4$

Etapa 4.4.2

Divida cada termo em $- x = 4$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Divida cada termo em $- x = 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

Etapa 4.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{4}{- 1}$

Etapa 4.4.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{- 1}$

Etapa 4.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.3.1

Divida $4$ por $- 1$ .

$x = - 4$

Etapa 5

Defina o radicando em $\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$1 + \frac{4}{x^{2}} < 0$

Etapa 6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{4}{x^{2}} < - 1$

Etapa 6.2

Multiplique os dois lados por $x^{2}$ .

$\frac{4}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Etapa 6.3.1.2

Reescreva a expressão.

$4 = - x^{2}$

Etapa 6.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Reescreva a equação como $- x^{2} = 4$ .

$- x^{2} = 4$

Etapa 6.4.2

Divida cada termo em $- x^{2} = 4$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

Etapa 6.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{4}{- 1}$

Etapa 6.4.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{- 1}$

Etapa 6.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.1

Divida $4$ por $- 1$ .

$x^{2} = - 4$

Etapa 6.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Etapa 6.4.4

Simplifique $\pm \sqrt{- 4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.4.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Etapa 6.4.4.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Etapa 6.4.4.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Etapa 6.4.4.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Etapa 6.4.4.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Etapa 6.4.4.6

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Etapa 6.4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 i$

Etapa 6.4.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 i$

Etapa 6.4.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 i, - 2 i$

Etapa 6.5

Encontre o domínio de $1 + \frac{4}{x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Defina o denominador em $\frac{4}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 6.5.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 6.5.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 6.5.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 6.5.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.5.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6.6

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$x > 0$

Etapa 6.7

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 6.7.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$1 + \frac{4}{{(- 2)}^{2}} < 0$

Etapa 6.7.1.3

O lado esquerdo $2$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.7.2

Teste um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.1

Escolha um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 6.7.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$1 + \frac{4}{{(2)}^{2}} < 0$

Etapa 6.7.2.3

O lado esquerdo $2$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.7.3

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$x > 0$ Falso

$x < 0$ Falso

$x > 0$ Falso

Etapa 6.8

Como não há números que se enquadram no intervalo, essa desigualdade não tem solução.

Nenhuma solução

Etapa 7

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 4, x = 0$

Etapa 8