Matemática discreta Exemplos

\ln (\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}})

$\ln (\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}})$

Etapa 1

Defina o denominador em

\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}

$\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ como igual a

0

$0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

{(x + 1)}^{3} = 0

${(x + 1)}^{3} = 0$

Etapa 2

Resolva

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina

x + 1

$x + 1$ como igual a

0

$0$ .

x + 1 = 0

$x + 1 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia

1

$1$ dos dois lados da equação.

x = - 1

$x = - 1$

x = - 1

$x = - 1$

Etapa 3

Defina o argumento em

\ln (\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}})

$\ln (\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}})$ como menor do que ou igual a

0

$0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}} \leq 0

$\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}} \leq 0$

Etapa 4

Resolva

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a

0

$0$ . Depois, resolva.

x^{2} = 0

$x^{2} = 0$

{(x + 1)}^{3} = 0

${(x + 1)}^{3} = 0$

Etapa 4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

x = \pm \sqrt{0}

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 4.3

Simplifique

\pm \sqrt{0}

$\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Reescreva

0

$0$ como

0^{2}

$0^{2}$ .

x = \pm \sqrt{0^{2}}

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 4.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

x = \pm 0

$x = \pm 0$

Etapa 4.3.3

Mais ou menos

0

$0$ é

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

Etapa 4.4

Defina

x + 1

$x + 1$ como igual a

0

$0$ .

x + 1 = 0

$x + 1 = 0$

Etapa 4.5

Subtraia

1

$1$ dos dois lados da equação.

x = - 1

$x = - 1$

Etapa 4.6

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

x = 0

$x = 0$

x = - 1

$x = - 1$

Etapa 4.7

Consolide as soluções.

x = 0, - 1

$x = 0, - 1$

Etapa 4.8

Encontre o domínio de

\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}

$\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1

Defina o denominador em

\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}

$\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ como igual a

0

$0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

{(x + 1)}^{3} = 0

${(x + 1)}^{3} = 0$

Etapa 4.8.2

Resolva

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.2.1

Defina

x + 1

$x + 1$ como igual a

0

$0$ .

x + 1 = 0

$x + 1 = 0$

Etapa 4.8.2.2

Subtraia

1

$1$ dos dois lados da equação.

x = - 1

$x = - 1$

x = - 1

$x = - 1$

Etapa 4.8.3

O domínio consiste em todos os valores de

x

$x$ que tornam a expressão definida.

(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Etapa 4.9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

x < - 1

$x < - 1$

- 1 < x < 0

$- 1 < x < 0$

x > 0

$x > 0$

Etapa 4.10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.1

Teste um valor no intervalo

x < - 1

$x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.1.1

Escolha um valor no intervalo

x < - 1

$x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

x = - 4

$x = - 4$

Etapa 4.10.1.2

Substitua

x

$x$ por

- 4

$- 4$ na desigualdade original.

\frac{{(- 4)}^{2}}{{((- 4) + 1)}^{3}} \leq 0

$\frac{{(- 4)}^{2}}{{((- 4) + 1)}^{3}} \leq 0$

Etapa 4.10.1.3

O lado esquerdo

- 0.\overline{592}

$- 0.\overline{592}$ é menor do que o lado direito

0

$0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 4.10.2

Teste um valor no intervalo

- 1 < x < 0

$- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.1

Escolha um valor no intervalo

- 1 < x < 0

$- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

x = - 0.5

$x = - 0.5$

Etapa 4.10.2.2

Substitua

x

$x$ por

- 0.5

$- 0.5$ na desigualdade original.

\frac{{(- 0.5)}^{2}}{{((- 0.5) + 1)}^{3}} \leq 0

$\frac{{(- 0.5)}^{2}}{{((- 0.5) + 1)}^{3}} \leq 0$

Etapa 4.10.2.3

O lado esquerdo

2

$2$ é maior do que o lado direito

0

$0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.10.3

Teste um valor no intervalo

x > 0

$x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.3.1

Escolha um valor no intervalo

x > 0

$x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

x = 2

$x = 2$

Etapa 4.10.3.2

Substitua

x

$x$ por

2

$2$ na desigualdade original.

\frac{{(2)}^{2}}{{((2) + 1)}^{3}} \leq 0

$\frac{{(2)}^{2}}{{((2) + 1)}^{3}} \leq 0$

Etapa 4.10.3.3

O lado esquerdo

0.\overline{148}

$0.\overline{148}$ é maior do que o lado direito

0

$0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

x < - 1

$x < - 1$ Verdadeiro

- 1 < x < 0

$- 1 < x < 0$ Falso

x > 0

$x > 0$ Falso

x < - 1

$x < - 1$ Verdadeiro

- 1 < x < 0

$- 1 < x < 0$ Falso

x > 0

$x > 0$ Falso

Etapa 4.11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

x < - 1

$x < - 1$ ou

x = 0

$x = 0$

x < - 1

$x < - 1$ ou

x = 0

$x = 0$

Etapa 5

A equação é indefinida quando o denominador é igual a

0

$0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que

0

$0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a

0

$0$ .

x = - 1, x = 0

$x = - 1, x = 0$

Etapa 6