Matemática discreta Exemplos

$\ln (\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}})$

Etapa 1

Defina o denominador em $\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 1)}^{3} = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 3

Defina o argumento em $\ln (\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}})$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}} \leq 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{2} = 0$

${(x + 1)}^{3} = 0$

Etapa 4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 4.3

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 4.3.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 4.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 4.3.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.4

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 4.5

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 4.6

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = - 1$

Etapa 4.7

Consolide as soluções.

$x = 0, - 1$

Etapa 4.8

Encontre o domínio de $\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ .

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Etapa 4.8.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 1)}^{3} = 0$

Etapa 4.8.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.8.2.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 4.8.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 4.8.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Etapa 4.9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Etapa 4.10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 4.10.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 4.10.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 4)}^{2}}{{((- 4) + 1)}^{3}} \leq 0$

Etapa 4.10.1.3

O lado esquerdo $- 0.\overline{592}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 4.10.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 0.5$

Etapa 4.10.2.2

Substitua $x$ por $- 0.5$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 0.5)}^{2}}{{((- 0.5) + 1)}^{3}} \leq 0$

Etapa 4.10.2.3

O lado esquerdo $2$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.10.3

Teste um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 4.10.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{{(2)}^{2}}{{((2) + 1)}^{3}} \leq 0$

Etapa 4.10.3.3

O lado esquerdo $0.\overline{148}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Falso

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Falso

Etapa 4.11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 1$ ou $x = 0$

Etapa 5

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 1, x = 0$

Etapa 6