Matemática discreta Exemplos

$(- 3, 8)$

Etapa 1

Para encontrar uma função exponencial, $f (x) = a^{x}$ , que contenha o ponto, defina $f (x)$ na função para o valor $y$ $8$ do ponto. Depois, defina $x$ para o valor $x$ $- 3$ do ponto.

$8 = a^{- 3}$

Etapa 2

Resolva a equação para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $a^{- 3} = 8$ .

$a^{- 3} = 8$

Etapa 2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{a^{3}} = 8$

Etapa 2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$a^{3}, 1$

Etapa 2.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$a^{3}$

Etapa 2.4

Multiplique cada termo em $\frac{1}{a^{3}} = 8$ por $a^{3}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{a^{3}} = 8$ por $a^{3}$ .

$\frac{1}{a^{3}} a^{3} = 8 a^{3}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $a^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{a^{3}} a^{3} = 8 a^{3}$

Etapa 2.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = 8 a^{3}$

Etapa 2.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Reescreva a equação como $8 a^{3} = 1$ .

$8 a^{3} = 1$

Etapa 2.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$8 a^{3} - 1 = 0$

Etapa 2.5.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Reescreva $8 a^{3}$ como ${(2 a)}^{3}$ .

${(2 a)}^{3} - 1 = 0$

Etapa 2.5.3.2

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

${(2 a)}^{3} - 1^{3} = 0$

Etapa 2.5.3.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 2 a$ e $b = 1$ .

$(2 a - 1) ({(2 a)}^{2} + 2 a \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 2.5.3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.4.1

Aplique a regra do produto a $2 a$ .

$(2 a - 1) (2^{2} a^{2} + 2 a \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 2.5.3.4.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$(2 a - 1) (4 a^{2} + 2 a \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 2.5.3.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$(2 a - 1) (4 a^{2} + 2 a + 1^{2}) = 0$

Etapa 2.5.3.4.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$(2 a - 1) (4 a^{2} + 2 a + 1) = 0$

Etapa 2.5.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 a - 1 = 0$

$4 a^{2} + 2 a + 1 = 0$

Etapa 2.5.5

Defina $2 a - 1$ como igual a $0$ e resolva para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.1

Defina $2 a - 1$ como igual a $0$ .

$2 a - 1 = 0$

Etapa 2.5.5.2

Resolva $2 a - 1 = 0$ para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 a = 1$

Etapa 2.5.5.2.2

Divida cada termo em $2 a = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.2.2.1

Divida cada termo em $2 a = 1$ por $2$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 a}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.5.5.2.2.2.1.2

Divida $a$ por $1$ .

$a = \frac{1}{2}$

Etapa 2.5.6

Defina $4 a^{2} + 2 a + 1$ como igual a $0$ e resolva para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.1

Defina $4 a^{2} + 2 a + 1$ como igual a $0$ .

$4 a^{2} + 2 a + 1 = 0$

Etapa 2.5.6.2

Resolva $4 a^{2} + 2 a + 1 = 0$ para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.5.6.2.2

Substitua os valores $a = 4$ , $b = 2$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $a$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.3.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.3.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.3.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.3.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.3.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.3.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.3.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 2.5.6.2.3.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Etapa 2.5.6.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.4.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.4.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.4.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.4.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.4.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.4.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.4.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.4.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.4.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 2.5.6.2.4.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Etapa 2.5.6.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$a = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{4}$

Etapa 2.5.6.2.4.5

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{4}$

Etapa 2.5.6.2.4.6

Fatore $- 1$ de $i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{4}$

Etapa 2.5.6.2.4.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{4}$

Etapa 2.5.6.2.4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

Etapa 2.5.6.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.5.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.5.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.5.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.5.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.2.5.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.5.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.5.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.6.2.5.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 2.5.6.2.5.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Etapa 2.5.6.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$a = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{4}$

Etapa 2.5.6.2.5.5

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{4}$

Etapa 2.5.6.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{4}$

Etapa 2.5.6.2.5.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{4}$

Etapa 2.5.6.2.5.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$a = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Etapa 2.5.6.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Etapa 2.5.7

A solução final são todos os valores que tornam $(2 a - 1) (4 a^{2} + 2 a + 1) = 0$ verdadeiro.

$a = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Etapa 2.6

Remova todos os valores que contêm componentes imaginários.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Não existem componentes imaginários. Some $\frac{1}{2}$ à resposta final.

$\frac{1}{2}$ é um número real

Etapa 2.6.2

A letra $i$ representa um componente imaginário e não é um número real. Não some $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ à resposta final.

$- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ não é um número real

Etapa 2.6.3

A letra $i$ representa um componente imaginário e não é um número real. Não some $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ à resposta final.

$- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ não é um número real

Etapa 2.6.4

A resposta final é a lista de valores que não contêm componentes imaginários.

$a = \frac{1}{2}$

Etapa 3

Substitua cada valor de $a$ de volta na função $f (x) = a^{x}$ para encontrar cada função exponencial possível.

$f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$