Matemática discreta Exemplos

$f (x) = x^{6} - 64$

Etapa 1

Reescreva $x^{6}$ como ${(x^{2})}^{3}$ .

$f (x) = {(x^{2})}^{3} - 64$

Etapa 2

Reescreva $64$ como $4^{3}$ .

$f (x) = {(x^{2})}^{3} - 4^{3}$

Etapa 3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x^{2}$ e $b = 4$ .

$f (x) = (x^{2} - 4) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4^{2})$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (x) = (x^{2} - 2^{2}) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4^{2})$

Etapa 4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4^{2})$

Etapa 4.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} \cdot 4 + 4^{2})$

Etapa 4.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{4} + x^{2} \cdot 4 + 4^{2})$

Etapa 4.4

Mova $4$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{4} + 4 x^{2} + 4^{2})$

Etapa 4.5

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{4} + 4 x^{2} + 16)$

Etapa 4.6

Fatore.

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Etapa 4.6.1

Reescreva $x^{4} + 4 x^{2} + 16$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.6.1.1

Reescreva o termo central.

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 4 - 4 x^{2} + 16)$

Etapa 4.6.1.2

Reorganize os termos.

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 4 + 16 - 4 x^{2})$

Etapa 4.6.1.3

Fatore os três primeiros termos pela regra do quadrado perfeito.

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ({(x^{2} + 4)}^{2} - 4 x^{2})$

Etapa 4.6.1.4

Reescreva $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ({(x^{2} + 4)}^{2} - {(2 x)}^{2})$

Etapa 4.6.1.5

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2} + 4$ e $b = 2 x$ .

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 4 + 2 x) (x^{2} + 4 - (2 x)))$

Etapa 4.6.1.6

Simplifique.

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Etapa 4.6.1.6.1

Reordene os termos.

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} + 4 - (2 x)))$

Etapa 4.6.1.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} + 4 - 2 x))$

Etapa 4.6.1.6.3

Reordene os termos.

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} - 2 x + 4))$

Etapa 4.6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} - 2 x + 4)$