Matemática discreta Exemplos

$f (x) = - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$

Etapa 1

Fatore $- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5$

Etapa 1.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$- 4 \cdot 1^{3} - 8 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 9$

Etapa 1.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$- 4 \cdot 1 - 8 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 9$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 4 - 8 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 9$

Etapa 1.3.4

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$- 4 - 8 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 9$

Etapa 1.3.5

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$- 4 - 8 + 3 \cdot 1 + 9$

Etapa 1.3.6

Subtraia $8$ de $- 4$ .

$- 12 + 3 \cdot 1 + 9$

Etapa 1.3.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 12 + 3 + 9$

Etapa 1.3.8

Some $- 12$ e $3$ .

$- 9 + 9$

Etapa 1.3.9

Some $- 9$ e $9$ .

$0$

Etapa 1.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9}{x - 1}$

Etapa 1.5

Divida $- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$ por $x - 1$ .

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Etapa 1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x$

$9$

Etapa 1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$4 x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$

Etapa 1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Etapa 1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 x^{3} + 4 x^{2}$ .

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Etapa 1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Etapa 1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 12 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$

Etapa 1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 12 x^{2} + 12 x$ .

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$

Etapa 1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$

Etapa 1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$

Etapa 1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 9 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$

Etapa 1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$
							-	$9 x$	+	$9$

Etapa 1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 9 x + 9$ .

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$
							+	$9 x$	-	$9$

Etapa 1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$
							+	$9 x$	-	$9$
										$0$

Etapa 1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- 4 x^{2} - 12 x - 9$

Etapa 1.6

Escreva $- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$ como um conjunto de fatores.

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} - 12 x - 9)$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 4 \cdot - 9 = 36$ e cuja soma é $b = - 12$ .

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Etapa 2.1.1.1

Fatore $- 12$ de $- 12 x$ .

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} - 12 x - 9)$

Etapa 2.1.1.2

Reescreva $- 12$ como $- 6$ mais $- 6$

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} + (- 6 - 6) x - 9)$

Etapa 2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} - 6 x - 6 x - 9)$

Etapa 2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f (x) = (x - 1) ((- 4 x^{2} - 6 x) - 6 x - 9)$

Etapa 2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f (x) = (x - 1) (2 x (- 2 x - 3) + 3 (- 2 x - 3))$

Etapa 2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 2 x - 3$ .

$f (x) = (x - 1) ((- 2 x - 3) (2 x + 3))$

Etapa 2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f (x) = (x - 1) (- 2 x - 3) (2 x + 3)$