Matemática discreta Exemplos

$\frac{x}{x + 4} - \frac{1}{x + 1} = 1$

Etapa 1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\frac{x}{x + 4} - \frac{1}{x + 1} - 1 = 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{x}{x + 4} - \frac{1}{x + 1} - 1$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{x}{x + 4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{x + 4} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} - 1 = 0$

Etapa 2.2

Para escrever $- \frac{1}{x + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x}{x + 4} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - 1 = 0$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 4) (x + 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{x}{x + 4}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x (x + 1)}{(x + 4) (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x (x + 1)}{(x + 4) (x + 1)} - \frac{x + 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(x + 4) (x + 1)$ .

$\frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x + 4)} - \frac{x + 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x (x + 1) - (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 - (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Etapa 2.5.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + x - (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Etapa 2.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + x - x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Etapa 2.5.5

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{x^{2} + x - x - 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Etapa 2.5.6

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Etapa 2.5.7

Some $x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Etapa 2.5.8

Reescreva $x^{2} - 4$ em uma forma fatorada.

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Etapa 2.5.8.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Etapa 2.5.8.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Etapa 2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 \cdot \frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.7

Combine $- 1$ e $\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 4)} + \frac{- ((x + 1) (x + 4))}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x + 2) (x - 2) - ((x + 1) (x + 4))}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.9.1

Expanda $(x + 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.9.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2) - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.9.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.9.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.9.2

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Etapa 2.9.2.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 2$ e $2 x$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.9.2.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.9.2.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$\frac{x \cdot x + 2 \cdot - 2 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.9.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.9.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot - 2 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.9.3.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 4 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.9.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.9.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 + (- x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.9.6

Expanda $(- x - 1) (x + 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.9.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 - x (x + 4) - 1 (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.9.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 4 - 1 (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.9.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.9.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.9.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.9.7.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.9.7.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - (x \cdot x) - x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.9.7.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.9.7.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 4 x - 1 x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.9.7.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 4 x - x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.9.7.1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 4 x - x - 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.9.7.2

Subtraia $x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 5 x - 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.9.8

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{0 - 4 - 5 x - 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.9.9

Subtraia $4$ de $0$ .

$\frac{- 4 - 5 x - 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.9.10

Subtraia $4$ de $- 4$ .

$\frac{- 5 x - 8}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.10

Fatore $- 1$ de $- 5 x$ .

$\frac{- (5 x) - 8}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.11

Reescreva $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$\frac{- (5 x) - 1 (8)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.12

Fatore $- 1$ de $- (5 x) - 1 (8)$ .

$\frac{- (5 x + 8)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.13

Reescreva $- (5 x + 8)$ como $- 1 (5 x + 8)$ .

$\frac{- 1 (5 x + 8)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 2.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5 x + 8}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Etapa 3

Defina o numerador como igual a zero.

$5 x + 8 = 0$

Etapa 4

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 4.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$5 x = - 8$

Etapa 4.2

Divida cada termo em $5 x = - 8$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 4.2.1

Divida cada termo em $5 x = - 8$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 8}{5}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 8}{5}$

Etapa 4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 8}{5}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{8}{5}$