Matemática discreta Exemplos

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 12 \sqrt{x} = 15 \sqrt{x}$

Etapa 1

Subtraia $15 \sqrt{x}$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Etapa 2

Simplifique $\sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x}$ .

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.1.1.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 5^{2}} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Etapa 2.1.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Etapa 2.1.1.3

Reescreva o polinômio.

$\sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Etapa 2.1.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 5$ .

$\sqrt{{(x - 5)}^{2}} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Etapa 2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x - 5 + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $15 \sqrt{x}$ de $12 \sqrt{x}$ .

$x - 5 - 3 \sqrt{x} = 0$

Etapa 3

Mova todos os termos que não contêm $- 3 \sqrt{x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$- 5 - 3 \sqrt{x} = - x$

Etapa 3.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$- 3 \sqrt{x} = - x + 5$

Etapa 4

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(- 3 \sqrt{x})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

Etapa 5

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Simplifique ${(- 3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 3)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 5)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 5)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$9 x^{1} = {(- x + 5)}^{2}$

Etapa 5.2.1.4

Simplifique.

$9 x = {(- x + 5)}^{2}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Simplifique ${(- x + 5)}^{2}$ .

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Etapa 5.3.1.1

Reescreva ${(- x + 5)}^{2}$ como $(- x + 5) (- x + 5)$ .

$9 x = (- x + 5) (- x + 5)$

Etapa 5.3.1.2

Expanda $(- x + 5) (- x + 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$9 x = - x (- x + 5) + 5 (- x + 5)$

Etapa 5.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$9 x = - x (- x) - x \cdot 5 + 5 (- x + 5)$

Etapa 5.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$9 x = - x (- x) - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Etapa 5.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$9 x = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Etapa 5.3.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$9 x = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Etapa 5.3.1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$9 x = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Etapa 5.3.1.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$9 x = 1 x^{2} - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Etapa 5.3.1.3.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$9 x = x^{2} - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Etapa 5.3.1.3.1.5

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$9 x = x^{2} - 5 x + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Etapa 5.3.1.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$9 x = x^{2} - 5 x - 5 x + 5 \cdot 5$

Etapa 5.3.1.3.1.7

Multiplique $5$ por $5$ .

$9 x = x^{2} - 5 x - 5 x + 25$

Etapa 5.3.1.3.2

Subtraia $5 x$ de $- 5 x$ .

$9 x = x^{2} - 10 x + 25$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$x^{2} - 10 x + 25 = 9 x$

Etapa 6.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.2.1

Subtraia $9 x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 10 x + 25 - 9 x = 0$

Etapa 6.2.2

Subtraia $9 x$ de $- 10 x$ .

$x^{2} - 19 x + 25 = 0$

Etapa 6.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6.4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 19$ e $c = 25$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.5

Simplifique.

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Etapa 6.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.5.1.1

Eleve $- 19$ à potência de $2$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Etapa 6.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $25$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 100}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.5.1.3

Subtraia $100$ de $361$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.5.1.4

Reescreva $261$ como $3^{2} \cdot 29$ .

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Etapa 6.5.1.4.1

Fatore $9$ de $261$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.5.1.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2}$

Etapa 6.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 6.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.6.1.1

Eleve $- 19$ à potência de $2$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Etapa 6.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $25$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 100}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.1.3

Subtraia $100$ de $361$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.1.4

Reescreva $261$ como $3^{2} \cdot 29$ .

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Etapa 6.6.1.4.1

Fatore $9$ de $261$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.1.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2}$

Etapa 6.6.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}$

Etapa 6.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 6.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.7.1.1

Eleve $- 19$ à potência de $2$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Etapa 6.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $25$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 100}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.1.3

Subtraia $100$ de $361$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.1.4

Reescreva $261$ como $3^{2} \cdot 29$ .

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Etapa 6.7.1.4.1

Fatore $9$ de $261$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.1.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2}$

Etapa 6.7.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{19 - 3 \sqrt{29}}{2}$

Etapa 6.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}, \frac{19 - 3 \sqrt{29}}{2}$

Etapa 7

Exclua as soluções que não tornam $x - 5 - 3 \sqrt{x} = 0$ verdadeira.

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}$

Forma decimal:

$x = 17.57774721 \dots$