Matemática discreta Exemplos

$\log_{7} (x) + \log_{7} (x - 2) = \log_{7} (24)$

Etapa 1

Subtraia $\log_{7} (24)$ dos dois lados da equação.

$\log_{7} (x) + \log_{7} (x - 2) - \log_{7} (24) = 0$

Etapa 2

Simplifique $\log_{7} (x) + \log_{7} (x - 2) - \log_{7} (24)$ .

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Etapa 2.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{7} (x (x - 2)) - \log_{7} (24) = 0$

Etapa 2.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{7} (\frac{x (x - 2)}{24}) = 0$

Etapa 3

Reescreva $\log_{7} (\frac{x (x - 2)}{24}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$7^{0} = \frac{x (x - 2)}{24}$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\frac{x (x - 2)}{24} = 7^{0}$ .

$\frac{x (x - 2)}{24} = 7^{0}$

Etapa 4.2

Multiplique os dois lados da equação por $24$ .

$24 \frac{x (x - 2)}{24} = 24 \cdot 7^{0}$

Etapa 4.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 4.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.1.1

Simplifique $24 \frac{x (x - 2)}{24}$ .

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Etapa 4.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $24$ .

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Etapa 4.3.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$24 \frac{x (x - 2)}{24} = 24 \cdot 7^{0}$

Etapa 4.3.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x (x - 2) = 24 \cdot 7^{0}$

Etapa 4.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 2 = 24 \cdot 7^{0}$

Etapa 4.3.1.1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1.1.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 = 24 \cdot 7^{0}$

Etapa 4.3.1.1.3.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} - 2 x = 24 \cdot 7^{0}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.2.1

Simplifique $24 \cdot 7^{0}$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x^{2} - 2 x = 24 \cdot 1$

Etapa 4.3.2.1.2

Multiplique $24$ por $1$ .

$x^{2} - 2 x = 24$

Etapa 4.4

Subtraia $24$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 2 x - 24 = 0$

Etapa 4.5

Fatore $x^{2} - 2 x - 24$ usando o método AC.

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Etapa 4.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 24$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 6, 4$

Etapa 4.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 6) (x + 4) = 0$

Etapa 4.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 4.7

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.7.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 4.7.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 4.8

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.8.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 4.8.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 4.9

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 6) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 6, - 4$