Matemática discreta Exemplos

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{x + 2}{2 x} = 2$

Etapa 1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{x + 2}{2 x} - 2 = 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{2 x}{x + 2} + \frac{x + 2}{2 x} - 2$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{2 x}{x + 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x}{2 x}$ .

$\frac{2 x}{x + 2} \cdot \frac{2 x}{2 x} + \frac{x + 2}{2 x} - 2 = 0$

Etapa 2.2

Para escrever $\frac{x + 2}{2 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 x}{x + 2} \cdot \frac{2 x}{2 x} + \frac{x + 2}{2 x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - 2 = 0$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 2) \cdot 2 x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{2 x}{x + 2}$ por $\frac{2 x}{2 x}$ .

$\frac{2 x (2 x)}{(x + 2) (2 x)} + \frac{x + 2}{2 x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - 2 = 0$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{x + 2}{2 x}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 x (2 x)}{(x + 2) (2 x)} + \frac{(x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(x + 2) (2 x)$ .

$\frac{2 x (2 x)}{2 x (x + 2)} + \frac{(x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x (2 x) + (x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 \cdot 2 x \cdot x + (x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.5.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 (x \cdot x) + (x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Etapa 2.5.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 x^{2} + (x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Etapa 2.5.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 x^{2} + (x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Etapa 2.5.4

Expanda $(x + 2) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.5.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{2} + x (x + 2) + 2 (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Etapa 2.5.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{2} + x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Etapa 2.5.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{2} + x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Etapa 2.5.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.5.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.5.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Etapa 2.5.5.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Etapa 2.5.5.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} + 2 x + 2 x + 4}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Etapa 2.5.5.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} + 4 x + 4}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Etapa 2.5.6

Some $4 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Etapa 2.6

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x (x + 2)}{2 x (x + 2)}$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4}{2 x (x + 2)} - 2 \cdot \frac{2 x (x + 2)}{2 x (x + 2)} = 0$

Etapa 2.7

Combine $- 2$ e $\frac{2 x (x + 2)}{2 x (x + 2)}$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4}{2 x (x + 2)} + \frac{- 2 (2 x (x + 2))}{2 x (x + 2)} = 0$

Etapa 2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4 - 2 (2 x (x + 2))}{2 x (x + 2)} = 0$

Etapa 2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.9.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4 - 4 x (x + 2)}{2 x (x + 2)} = 0$

Etapa 2.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 2}{2 x (x + 2)} = 0$

Etapa 2.9.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.9.3.1

Mova $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4 - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 2}{2 x (x + 2)} = 0$

Etapa 2.9.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4 - 4 x^{2} - 4 x \cdot 2}{2 x (x + 2)} = 0$

Etapa 2.9.4

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4 - 4 x^{2} - 8 x}{2 x (x + 2)} = 0$

Etapa 2.9.5

Subtraia $4 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 4 - 8 x}{2 x (x + 2)} = 0$

Etapa 2.9.6

Subtraia $8 x$ de $4 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{2 x (x + 2)} = 0$

Etapa 2.9.7

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.9.7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 2^{2}}{2 x (x + 2)} = 0$

Etapa 2.9.7.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Etapa 2.9.7.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}{2 x (x + 2)} = 0$

Etapa 2.9.7.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{2 x (x + 2)} = 0$

Etapa 3

Defina o numerador como igual a zero.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 4

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$