Matemática discreta Exemplos

$2^{2 x} - 2^{x + 2} - 12 = 0$

Etapa 1

Reordene os termos.

$2^{2 x} - 12 - 2^{x + 2} = 0$

Etapa 2

Reescreva $2^{x + 2}$ como $2^{x} \cdot 2^{2}$ .

$2^{2 x} - 12 - (2^{x} \cdot 2^{2}) = 0$

Etapa 3

Reescreva $2^{2 x}$ como exponenciação.

${(2^{x})}^{2} - 12 - (2^{x} \cdot 2^{2}) = 0$

Etapa 4

Remova os parênteses.

${(2^{x})}^{2} - 12 - 2^{x} \cdot 2^{2} = 0$

Etapa 5

Substitua $u$ por $2^{x}$ .

$u^{2} - 12 - u \cdot 2^{2} = 0$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u^{2} - 12 - u \cdot 4 = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$u^{2} - 12 - 4 u = 0$

Etapa 7

Mova $- 12$ .

$u^{2} - 4 u - 12 = 0$

Etapa 8

Resolva $u$ .

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Etapa 8.1

Fatore $u^{2} - 4 u - 12$ usando o método AC.

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Etapa 8.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 6, 2$

Etapa 8.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 6) (u + 2) = 0$

Etapa 8.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 6 = 0$

$u + 2 = 0$

Etapa 8.3

Defina $u - 6$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 8.3.1

Defina $u - 6$ como igual a $0$ .

$u - 6 = 0$

Etapa 8.3.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$u = 6$

Etapa 8.4

Defina $u + 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 8.4.1

Defina $u + 2$ como igual a $0$ .

$u + 2 = 0$

Etapa 8.4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$u = - 2$

Etapa 8.5

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 6) (u + 2) = 0$ verdadeiro.

$u = 6, - 2$

Etapa 9

Substitua $6$ por $u$ em $u = 2^{x}$ .

$6 = 2^{x}$

Etapa 10

Resolva $6 = 2^{x}$ .

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Etapa 10.1

Reescreva a equação como $2^{x} = 6$ .

$2^{x} = 6$

Etapa 10.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2^{x}) = \ln (6)$

Etapa 10.3

Expanda $\ln (2^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (2) = \ln (6)$

Etapa 10.4

Divida cada termo em $x \ln (2) = \ln (6)$ por $\ln (2)$ e simplifique.

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Etapa 10.4.1

Divida cada termo em $x \ln (2) = \ln (6)$ por $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

Etapa 10.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.4.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

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Etapa 10.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

Etapa 10.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

Etapa 11

Substitua $- 2$ por $u$ em $u = 2^{x}$ .

$- 2 = 2^{x}$

Etapa 12

Resolva $- 2 = 2^{x}$ .

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Etapa 12.1

Reescreva a equação como $2^{x} = - 2$ .

$2^{x} = - 2$

Etapa 12.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 2)$

Etapa 12.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- 2)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 12.4

Não há uma solução para $2^{x} = - 2$

Nenhuma solução

Etapa 13

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$