Matemática discreta Exemplos

$\frac{x^{2}}{2} + 4 x + 10 = 0$

Etapa 1

Para escrever $4 x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + 4 x \cdot \frac{2}{2} + 10 = 0$

Etapa 2

Combine $4 x$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{4 x \cdot 2}{2} + 10 = 0$

Etapa 3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} + 4 x \cdot 2}{2} + 10 = 0$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Fatore $x$ de $x^{2} + 4 x \cdot 2$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 4 x \cdot 2}{2} + 10 = 0$

Etapa 4.1.2

Fatore $x$ de $4 x \cdot 2$ .

$\frac{x \cdot x + x (4 \cdot 2)}{2} + 10 = 0$

Etapa 4.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x (4 \cdot 2)$ .

$\frac{x (x + 4 \cdot 2)}{2} + 10 = 0$

Etapa 4.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{x (x + 8)}{2} + 10 = 0$

Etapa 5

Para escrever $10$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (x + 8)}{2} + 10 \cdot \frac{2}{2} = 0$

Etapa 6

Combine $10$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (x + 8)}{2} + \frac{10 \cdot 2}{2} = 0$

Etapa 7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x (x + 8) + 10 \cdot 2}{2} = 0$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 8 + 10 \cdot 2}{2} = 0$

Etapa 8.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 8 + 10 \cdot 2}{2} = 0$

Etapa 8.3

Mova $8$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 10 \cdot 2}{2} = 0$

Etapa 8.4

Multiplique $10$ por $2$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 20}{2} = 0$

Etapa 9

Defina o numerador como igual a zero.

$x^{2} + 8 x + 20 = 0$

Etapa 10

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 10.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 10.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 8$ e $c = 20$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 20)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.3

Simplifique.

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Etapa 10.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.3.1.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

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Etapa 10.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $20$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 80}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.3.1.3

Subtraia $80$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.3.1.4

Reescreva $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.3.1.7

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.3.1.9

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2}$

Etapa 10.3.3

Simplifique $\frac{- 8 \pm 4 i}{2}$ .

$x = - 4 \pm 2 i$

Etapa 10.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 10.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.4.1.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

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Etapa 10.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $20$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 80}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.4.1.3

Subtraia $80$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.4.1.4

Reescreva $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.4.1.7

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.4.1.9

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2}$

Etapa 10.4.3

Simplifique $\frac{- 8 \pm 4 i}{2}$ .

$x = - 4 \pm 2 i$

Etapa 10.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = - 4 + 2 i$

Etapa 10.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 10.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.5.1.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

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Etapa 10.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $20$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 80}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.5.1.3

Subtraia $80$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.5.1.4

Reescreva $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.5.1.7

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.5.1.9

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2}$

Etapa 10.5.3

Simplifique $\frac{- 8 \pm 4 i}{2}$ .

$x = - 4 \pm 2 i$

Etapa 10.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = - 4 - 2 i$

Etapa 10.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 4 + 2 i, - 4 - 2 i$