Matemática discreta Exemplos

${(1 - y)}^{2} + (1 - y) y - y^{2} = - 41$

Etapa 1

Some $41$ aos dois lados da equação.

${(1 - y)}^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Etapa 2

Simplifique ${(1 - y)}^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41$ .

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Reescreva ${(1 - y)}^{2}$ como $(1 - y) (1 - y)$ .

$(1 - y) (1 - y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Etapa 2.1.2

Expanda $(1 - y) (1 - y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (1 - y) - y (1 - y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- y) - y (1 - y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- y) - y \cdot 1 - y (- y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Etapa 2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$1 + 1 (- y) - y \cdot 1 - y (- y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Etapa 2.1.3.1.2

Multiplique $- y$ por $1$ .

$1 - y - y \cdot 1 - y (- y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Etapa 2.1.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 - y - y - y (- y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Etapa 2.1.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 - y - y - 1 \cdot - 1 y \cdot y + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Etapa 2.1.3.1.5

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.3.1.5.1

Mova $y$ .

$1 - y - y - 1 \cdot - 1 (y \cdot y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Etapa 2.1.3.1.5.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$1 - y - y - 1 \cdot - 1 y^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Etapa 2.1.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 - y - y + 1 y^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Etapa 2.1.3.1.7

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$1 - y - y + y^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Etapa 2.1.3.2

Subtraia $y$ de $- y$ .

$1 - 2 y + y^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Etapa 2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$1 - 2 y + y^{2} + 1 y - y \cdot y - y^{2} + 41 = 0$

Etapa 2.1.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$1 - 2 y + y^{2} + y - y \cdot y - y^{2} + 41 = 0$

Etapa 2.1.6

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.6.1

Mova $y$ .

$1 - 2 y + y^{2} + y - (y \cdot y) - y^{2} + 41 = 0$

Etapa 2.1.6.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$1 - 2 y + y^{2} + y - y^{2} - y^{2} + 41 = 0$

Etapa 2.2

Combine os termos opostos em $1 - 2 y + y^{2} + y - y^{2} - y^{2} + 41$ .

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Etapa 2.2.1

Subtraia $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$1 - 2 y + y + 0 - y^{2} + 41 = 0$

Etapa 2.2.2

Some $1 - 2 y + y$ e $0$ .

$1 - 2 y + y - y^{2} + 41 = 0$

Etapa 2.3

Some $1$ e $41$ .

$- 2 y + y - y^{2} + 42 = 0$

Etapa 2.4

Some $- 2 y$ e $y$ .

$- y - y^{2} + 42 = 0$

Etapa 3

Deixe $u = y$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $y$ .

$- u - u^{2} + 42 = 0$

Etapa 4

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.1

Reordene os termos.

$- u^{2} - u + 42 = 0$

Etapa 4.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 42 = - 42$ e cuja soma é $b = - 1$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $- 1$ de $- u$ .

$- u^{2} - (u) + 42 = 0$

Etapa 4.2.2

Reescreva $- 1$ como $6$ mais $- 7$

$- u^{2} + (6 - 7) u + 42 = 0$

Etapa 4.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- u^{2} + 6 u - 7 u + 42 = 0$

Etapa 4.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(- u^{2} + 6 u) - 7 u + 42 = 0$

Etapa 4.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (- u + 6) + 7 (- u + 6) = 0$

Etapa 4.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- u + 6$ .

$(- u + 6) (u + 7) = 0$

Etapa 5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$(- y + 6) (y + 7) = 0$

Etapa 6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$- y + 6 = 0$

$y + 7 = 0$

Etapa 7

Defina $- y + 6$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 7.1

Defina $- y + 6$ como igual a $0$ .

$- y + 6 = 0$

Etapa 7.2

Resolva $- y + 6 = 0$ para $y$ .

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Etapa 7.2.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$- y = - 6$

Etapa 7.2.2

Divida cada termo em $- y = - 6$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 7.2.2.1

Divida cada termo em $- y = - 6$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Etapa 7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Etapa 7.2.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 6}{- 1}$

Etapa 7.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.3.1

Divida $- 6$ por $- 1$ .

$y = 6$

Etapa 8

Defina $y + 7$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 8.1

Defina $y + 7$ como igual a $0$ .

$y + 7 = 0$

Etapa 8.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$y = - 7$

Etapa 9

A solução final são todos os valores que tornam $(- y + 6) (y + 7) = 0$ verdadeiro.

$y = 6, - 7$