Matemática discreta Exemplos

$h (x) = x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36$

Etapa 1

Defina $x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36$ como igual a $0$ .

$x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1$

Etapa 2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

Etapa 2.1.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$2^{3} + 4 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 36$

Etapa 2.1.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 + 4 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 36$

Etapa 2.1.3.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$8 + 4 \cdot 4 + 6 \cdot 2 - 36$

Etapa 2.1.3.4

Multiplique $4$ por $4$ .

$8 + 16 + 6 \cdot 2 - 36$

Etapa 2.1.3.5

Some $8$ e $16$ .

$24 + 6 \cdot 2 - 36$

Etapa 2.1.3.6

Multiplique $6$ por $2$ .

$24 + 12 - 36$

Etapa 2.1.3.7

Some $24$ e $12$ .

$36 - 36$

Etapa 2.1.3.8

Subtraia $36$ de $36$ .

$0$

Etapa 2.1.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36}{x - 2}$

Etapa 2.1.5

Divida $x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36$ por $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$6 x$

$36$

Etapa 2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$

Etapa 2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Etapa 2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$

Etapa 2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $6 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$

Etapa 2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$12 x$

Etapa 2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $6 x^{2} - 12 x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$

Etapa 2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$18 x$

Etapa 2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$18 x$	-	$36$

Etapa 2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $18 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$18$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$18 x$	-	$36$

Etapa 2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$18$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$18 x$	-	$36$
							+	$18 x$	-	$36$

Etapa 2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $18 x - 36$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$18$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$18 x$	-	$36$
							-	$18 x$	+	$36$

Etapa 2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$18$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$6 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$18 x$	-	$36$
							-	$18 x$	+	$36$
										$0$

Etapa 2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + 6 x + 18$

Etapa 2.1.6

Escreva $x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 36$ como um conjunto de fatores.

$(x - 2) (x^{2} + 6 x + 18) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 6 x + 18 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.4

Defina $x^{2} + 6 x + 18$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $x^{2} + 6 x + 18$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 6 x + 18 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} + 6 x + 18 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 6$ e $c = 18$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 18)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 18$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $18$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 72}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.3

Subtraia $72$ de $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.4

Reescreva $- 36$ como $- 1 (36)$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (36)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.7

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.9

Mova $6$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i}{2}$

Etapa 2.4.2.3.3

Simplifique $\frac{- 6 \pm 6 i}{2}$ .

$x = - 3 \pm 3 i$

Etapa 2.4.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 3 + 3 i, - 3 - 3 i$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 2) (x^{2} + 6 x + 18) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 3 + 3 i, - 3 - 3 i$

Etapa 3