Matemática discreta Exemplos

$64 w^{3} - 343 = 0$

Etapa 1

Some $343$ aos dois lados da equação.

$64 w^{3} = 343$

Etapa 2

Subtraia $343$ dos dois lados da equação.

$64 w^{3} - 343 = 0$

Etapa 3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva $64 w^{3}$ como ${(4 w)}^{3}$ .

${(4 w)}^{3} - 343 = 0$

Etapa 3.2

Reescreva $343$ como $7^{3}$ .

${(4 w)}^{3} - 7^{3} = 0$

Etapa 3.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 4 w$ e $b = 7$ .

$(4 w - 7) ({(4 w)}^{2} + 4 w \cdot 7 + 7^{2}) = 0$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Aplique a regra do produto a $4 w$ .

$(4 w - 7) (4^{2} w^{2} + 4 w \cdot 7 + 7^{2}) = 0$

Etapa 3.4.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$(4 w - 7) (16 w^{2} + 4 w \cdot 7 + 7^{2}) = 0$

Etapa 3.4.3

Multiplique $7$ por $4$ .

$(4 w - 7) (16 w^{2} + 28 w + 7^{2}) = 0$

Etapa 3.4.4

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$(4 w - 7) (16 w^{2} + 28 w + 49) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 w - 7 = 0$

$16 w^{2} + 28 w + 49 = 0$

Etapa 5

Defina $4 w - 7$ como igual a $0$ e resolva para $w$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina $4 w - 7$ como igual a $0$ .

$4 w - 7 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $4 w - 7 = 0$ para $w$ .

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Etapa 5.2.1

Some $7$ aos dois lados da equação.

$4 w = 7$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $4 w = 7$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $4 w = 7$ por $4$ .

$\frac{4 w}{4} = \frac{7}{4}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 w}{4} = \frac{7}{4}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $w$ por $1$ .

$w = \frac{7}{4}$

Etapa 6

Defina $16 w^{2} + 28 w + 49$ como igual a $0$ e resolva para $w$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina $16 w^{2} + 28 w + 49$ como igual a $0$ .

$16 w^{2} + 28 w + 49 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $16 w^{2} + 28 w + 49 = 0$ para $w$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6.2.2

Substitua os valores $a = 16$ , $b = 28$ e $c = 49$ na fórmula quadrática e resolva $w$ .

$\frac{- 28 \pm \sqrt{28^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 49)}}{2 \cdot 16}$

Etapa 6.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1

Eleve $28$ à potência de $2$ .

$w = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot 16 \cdot 49}}{2 \cdot 16}$

Etapa 6.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 16 \cdot 49$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$w = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 64 \cdot 49}}{2 \cdot 16}$

Etapa 6.2.3.1.2.2

Multiplique $- 64$ por $49$ .

$w = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 3136}}{2 \cdot 16}$

Etapa 6.2.3.1.3

Subtraia $3136$ de $784$ .

$w = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 2352}}{2 \cdot 16}$

Etapa 6.2.3.1.4

Reescreva $- 2352$ como $- 1 (2352)$ .

$w = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2352}}{2 \cdot 16}$

Etapa 6.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (2352)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}$ .

$w = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 16}$

Etapa 6.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$w = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 16}$

Etapa 6.2.3.1.7

Reescreva $2352$ como $28^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.7.1

Fatore $784$ de $2352$ .

$w = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{784 (3)}}{2 \cdot 16}$

Etapa 6.2.3.1.7.2

Reescreva $784$ como $28^{2}$ .

$w = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{28^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Etapa 6.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$w = \frac{- 28 \pm i \cdot (28 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Etapa 6.2.3.1.9

Mova $28$ para a esquerda de $i$ .

$w = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$w = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{32}$

Etapa 6.2.3.3

Simplifique $\frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{32}$ .

$w = \frac{- 7 \pm 7 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$w = - \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(4 w - 7) (16 w^{2} + 28 w + 49) = 0$ verdadeiro.

$w = \frac{7}{4}, - \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 8