Matemática discreta Exemplos

$\frac{x}{x - 1} = 3 x + \frac{1}{x - 1}$

Etapa 1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x - 1, 1, x - 1$

Etapa 1.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 1.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 1.4

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 1.5

O fator de $x - 1$ é o próprio $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.6

O MMC de $x - 1, x - 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x - 1$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $\frac{x}{x - 1} = 3 x + \frac{1}{x - 1}$ por $x - 1$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $\frac{x}{x - 1} = 3 x + \frac{1}{x - 1}$ por $x - 1$ .

$\frac{x}{x - 1} (x - 1) = 3 x (x - 1) + \frac{1}{x - 1} (x - 1)$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{x - 1} (x - 1) = 3 x (x - 1) + \frac{1}{x - 1} (x - 1)$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 3 x (x - 1) + \frac{1}{x - 1} (x - 1)$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + \frac{1}{x - 1} (x - 1)$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.2.1

Mova $x$ .

$x = 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 + \frac{1}{x - 1} (x - 1)$

Etapa 2.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x = 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + \frac{1}{x - 1} (x - 1)$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$x = 3 x^{2} - 3 x + \frac{1}{x - 1} (x - 1)$

Etapa 2.3.1.4

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 2.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$x = 3 x^{2} - 3 x + \frac{1}{x - 1} (x - 1)$

Etapa 2.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$x = 3 x^{2} - 3 x + 1$

Etapa 3

Resolva a equação.

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Etapa 3.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$3 x^{2} - 3 x + 1 = x$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} - 3 x + 1 - x = 0$

Etapa 3.2.2

Subtraia $x$ de $- 3 x$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Etapa 3.3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ e cuja soma é $b = - 4$ .

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Etapa 3.3.1.1

Fatore $- 4$ de $- 4 x$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva $- 4$ como $- 1$ mais $- 3$

$3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1 = 0$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1 = 0$

Etapa 3.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1 = 0$

Etapa 3.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (3 x - 1) - (3 x - 1) = 0$

Etapa 3.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 1) = 0$

Etapa 3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 3.5

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva $3 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 x = 1$

Etapa 3.5.2.2

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.5.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 3.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 3.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Etapa 3.6

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 3.6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x - 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{3}, 1$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\frac{x}{x - 1} = 3 x + \frac{1}{x - 1}$ verdadeira.

$x = \frac{1}{3}$

Etapa 5