Matemática discreta Exemplos

$f (x) = 5 \cos^{2} (π x)$

Etapa 1

Defina $5 \cos^{2} (π x)$ como igual a $0$ .

$5 \cos^{2} (π x) = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida cada termo em $5 \cos^{2} (π x) = 0$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Divida cada termo em $5 \cos^{2} (π x) = 0$ por $5$ .

$\frac{5 \cos^{2} (π x)}{5} = \frac{0}{5}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \cos^{2} (π x)}{5} = \frac{0}{5}$

Etapa 2.1.2.1.2

Divida $\cos^{2} (π x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (π x) = \frac{0}{5}$

Etapa 2.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1.3.1

Divida $0$ por $5$ .

$\cos^{2} (π x) = 0$

Etapa 2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\cos (π x) = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.3

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 2.3.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\cos (π x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\cos (π x) = \pm 0$

Etapa 2.3.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$\cos (π x) = 0$

Etapa 2.4

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$π x = \arccos (0)$

Etapa 2.5

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$π x = \frac{π}{2}$

Etapa 2.6

Divida cada termo em $π x = \frac{π}{2}$ por $π$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Divida cada termo em $π x = \frac{π}{2}$ por $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{2}}{π}$

Etapa 2.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{2}}{π}$

Etapa 2.6.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{π}$

Etapa 2.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.6.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Etapa 2.6.3.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.2.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Etapa 2.6.3.2.2

Reescreva a expressão.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 2.7

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$π x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 2.8

Resolva $x$ .

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Etapa 2.8.1

Simplifique.

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Etapa 2.8.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$π x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.8.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$π x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.8.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$π x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 2.8.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$π x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 2.8.1.5

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$π x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 2.8.2

Divida cada termo em $π x = \frac{3 π}{2}$ por $π$ e simplifique.

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Etapa 2.8.2.1

Divida cada termo em $π x = \frac{3 π}{2}$ por $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Etapa 2.8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.2.1

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Etapa 2.8.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Etapa 2.8.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.8.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Etapa 2.8.2.3.2

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 2.8.2.3.2.1

Fatore $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Etapa 2.8.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Etapa 2.8.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 2.9

Encontre o período de $\cos (π x)$ .

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Etapa 2.9.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.9.2

Substitua $b$ por $π$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| π |}$

Etapa 2.9.3

$π$ é aproximadamente $3.14159265$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{π}$

Etapa 2.9.4

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 2.9.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{π}$

Etapa 2.9.4.2

Divida $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.10

O período da função $\cos (π x)$ é $2$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{1}{2} + 2 n, \frac{3}{2} + 2 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.11

Consolide as respostas.

$x = \frac{1}{2} + 1 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3