Matemática discreta Exemplos

$54 + 27 x - 15 x^{2} - 6 x^{3} = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $3$ de $54 + 27 x - 15 x^{2} - 6 x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $3$ de $54$ .

$3 (18) + 27 x - 15 x^{2} - 6 x^{3} = 0$

Etapa 1.1.2

Fatore $3$ de $27 x$ .

$3 (18) + 3 (9 x) - 15 x^{2} - 6 x^{3} = 0$

Etapa 1.1.3

Fatore $3$ de $- 15 x^{2}$ .

$3 (18) + 3 (9 x) + 3 (- 5 x^{2}) - 6 x^{3} = 0$

Etapa 1.1.4

Fatore $3$ de $- 6 x^{3}$ .

$3 (18) + 3 (9 x) + 3 (- 5 x^{2}) + 3 (- 2 x^{3}) = 0$

Etapa 1.1.5

Fatore $3$ de $3 (18) + 3 (9 x)$ .

$3 (18 + 9 x) + 3 (- 5 x^{2}) + 3 (- 2 x^{3}) = 0$

Etapa 1.1.6

Fatore $3$ de $3 (18 + 9 x) + 3 (- 5 x^{2})$ .

$3 (18 + 9 x - 5 x^{2}) + 3 (- 2 x^{3}) = 0$

Etapa 1.1.7

Fatore $3$ de $3 (18 + 9 x - 5 x^{2}) + 3 (- 2 x^{3})$ .

$3 (18 + 9 x - 5 x^{2} - 2 x^{3}) = 0$

Etapa 1.2

Reordene os termos.

$3 (- 2 x^{3} - 5 x^{2} + 9 x + 18) = 0$

Etapa 1.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore $- 2 x^{3} - 5 x^{2} + 9 x + 18$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.3.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 1.3.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 18, \pm 9, \pm 2, \pm 4.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 6$

Etapa 1.3.1.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.3.1.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$- 2 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 + 18$

Etapa 1.3.1.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- 2 \cdot 8 - 5 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 + 18$

Etapa 1.3.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$- 16 - 5 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 + 18$

Etapa 1.3.1.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 16 - 5 \cdot 4 + 9 \cdot 2 + 18$

Etapa 1.3.1.3.5

Multiplique $- 5$ por $4$ .

$- 16 - 20 + 9 \cdot 2 + 18$

Etapa 1.3.1.3.6

Subtraia $20$ de $- 16$ .

$- 36 + 9 \cdot 2 + 18$

Etapa 1.3.1.3.7

Multiplique $9$ por $2$ .

$- 36 + 18 + 18$

Etapa 1.3.1.3.8

Some $- 36$ e $18$ .

$- 18 + 18$

Etapa 1.3.1.3.9

Some $- 18$ e $18$ .

$0$

Etapa 1.3.1.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- 2 x^{3} - 5 x^{2} + 9 x + 18}{x - 2}$

Etapa 1.3.1.5

Divida $- 2 x^{3} - 5 x^{2} + 9 x + 18$ por $x - 2$ .

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Etapa 1.3.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$18$

Etapa 1.3.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$

Etapa 1.3.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Etapa 1.3.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{3} + 4 x^{2}$ .

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Etapa 1.3.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

Etapa 1.3.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$

Etapa 1.3.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 9 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$

Etapa 1.3.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$18 x$

Etapa 1.3.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 9 x^{2} + 18 x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$

Etapa 1.3.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$9 x$

Etapa 1.3.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$9 x$	+	$18$

Etapa 1.3.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 9 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$9 x$	-	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$9 x$	+	$18$

Etapa 1.3.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$2 x^{2}$	-	$9 x$	-	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$9 x$	+	$18$
							-	$9 x$	+	$18$

Etapa 1.3.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 9 x + 18$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$9 x$	-	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$9 x$	+	$18$
							+	$9 x$	-	$18$

Etapa 1.3.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$2 x^{2}$	-	$9 x$	-	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	+	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$9 x$	+	$18$
							+	$9 x$	-	$18$
										$0$

Etapa 1.3.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- 2 x^{2} - 9 x - 9$

Etapa 1.3.1.6

Escreva $- 2 x^{3} - 5 x^{2} + 9 x + 18$ como um conjunto de fatores.

$3 ((x - 2) (- 2 x^{2} - 9 x - 9)) = 0$

Etapa 1.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$3 (x - 2) (- 2 x^{2} - 9 x - 9) = 0$

Etapa 1.4

Fatore.

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Etapa 1.4.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.4.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 2 \cdot - 9 = 18$ e cuja soma é $b = - 9$ .

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Etapa 1.4.1.1.1

Fatore $- 9$ de $- 9 x$ .

$3 (x - 2) (- 2 x^{2} - 9 x - 9) = 0$

Etapa 1.4.1.1.2

Reescreva $- 9$ como $- 3$ mais $- 6$

$3 (x - 2) (- 2 x^{2} + (- 3 - 6) x - 9) = 0$

Etapa 1.4.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (x - 2) (- 2 x^{2} - 3 x - 6 x - 9) = 0$

Etapa 1.4.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.4.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$3 (x - 2) ((- 2 x^{2} - 3 x) - 6 x - 9) = 0$

Etapa 1.4.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$3 (x - 2) (x (- 2 x - 3) + 3 (- 2 x - 3)) = 0$

Etapa 1.4.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 2 x - 3$ .

$3 (x - 2) ((- 2 x - 3) (x + 3)) = 0$

Etapa 1.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$3 (x - 2) (- 2 x - 3) (x + 3) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$- 2 x - 3 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 3

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 4

Defina $- 2 x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $- 2 x - 3$ como igual a $0$ .

$- 2 x - 3 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $- 2 x - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$- 2 x = 3$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $- 2 x = 3$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $- 2 x = 3$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{3}{- 2}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{3}{- 2}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{- 2}$

Etapa 4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3}{2}$

Etapa 5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $3 (x - 2) (- 2 x - 3) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - \frac{3}{2}, - 3$

Etapa 7