Matemática discreta Exemplos

$5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5$

Etapa 1

Defina $5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5$ como igual a $0$ .

$5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore $5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 5$

Etapa 2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 5$

Etapa 2.1.3

Substitua $- 5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 5$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.1.3.1

Substitua $- 5$ no polinômio.

$5 {(- 5)}^{3} + 27 {(- 5)}^{2} + 11 \cdot - 5 + 5$

Etapa 2.1.3.2

Eleve $- 5$ à potência de $3$ .

$5 \cdot - 125 + 27 {(- 5)}^{2} + 11 \cdot - 5 + 5$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $5$ por $- 125$ .

$- 625 + 27 {(- 5)}^{2} + 11 \cdot - 5 + 5$

Etapa 2.1.3.4

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$- 625 + 27 \cdot 25 + 11 \cdot - 5 + 5$

Etapa 2.1.3.5

Multiplique $27$ por $25$ .

$- 625 + 675 + 11 \cdot - 5 + 5$

Etapa 2.1.3.6

Some $- 625$ e $675$ .

$50 + 11 \cdot - 5 + 5$

Etapa 2.1.3.7

Multiplique $11$ por $- 5$ .

$50 - 55 + 5$

Etapa 2.1.3.8

Subtraia $55$ de $50$ .

$- 5 + 5$

Etapa 2.1.3.9

Some $- 5$ e $5$ .

$0$

Etapa 2.1.4

Como $- 5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 5$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5}{x + 5}$

Etapa 2.1.5

Divida $5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5$ por $x + 5$ .

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Etapa 2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$5$

$5 x^{3}$

$27 x^{2}$

$11 x$

$5$

Etapa 2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $5 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$5 x^{2}$
	$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$

Etapa 2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			+	$5 x^{3}$	+	$25 x^{2}$

Etapa 2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $5 x^{3} + 25 x^{2}$ .

				$5 x^{2}$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$

Etapa 2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Etapa 2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$

Etapa 2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$

Etapa 2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$5 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$

Etapa 2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{2} + 10 x$ .

				$5 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$

Etapa 2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$5 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$

Etapa 2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$5 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$	+	$5$

Etapa 2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$	+	$5$

Etapa 2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$	+	$5$
							+	$x$	+	$5$

Etapa 2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x + 5$ .

				$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$	+	$5$
							-	$x$	-	$5$

Etapa 2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$	+	$5$
							-	$x$	-	$5$
										$0$

Etapa 2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$5 x^{2} + 2 x + 1$

Etapa 2.1.6

Escreva $5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5$ como um conjunto de fatores.

$(x + 5) (5 x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

$5 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 2.4

Defina $5 x^{2} + 2 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $5 x^{2} + 2 x + 1$ como igual a $0$ .

$5 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $5 x^{2} + 2 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4.2.2

Substitua os valores $a = 5$ , $b = 2$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 1)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.4.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.2.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Etapa 2.4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 5 \cdot 1$ .

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Etapa 2.4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Etapa 2.4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 20$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 5}$

Etapa 2.4.2.3.1.3

Subtraia $20$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 5}$

Etapa 2.4.2.3.1.4

Reescreva $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 5}$

Etapa 2.4.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 5}$

Etapa 2.4.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 5}$

Etapa 2.4.2.3.1.7

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 5}$

Etapa 2.4.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 5}$

Etapa 2.4.2.3.1.9

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{2 \cdot 5}$

Etapa 2.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{10}$

Etapa 2.4.2.3.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 4 i}{10}$ .

$x = \frac{- 1 \pm 2 i}{5}$

Etapa 2.4.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5}, - \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5}$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 5) (5 x^{2} + 2 x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 5, - \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5}, - \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5}$

Etapa 3