Matemática discreta Exemplos

$2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4 = 0$

Etapa 1

Fatore $2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

Etapa 1.3

Substitua $- 0.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 0.5$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.3.1

Substitua $- 0.5$ no polinômio.

$2 {(- 0.5)}^{3} - {(- 0.5)}^{2} - 9 \cdot - 0.5 - 4$

Etapa 1.3.2

Eleve $- 0.5$ à potência de $3$ .

$2 \cdot - 0.125 - {(- 0.5)}^{2} - 9 \cdot - 0.5 - 4$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 0.125$ .

$- 0.25 - {(- 0.5)}^{2} - 9 \cdot - 0.5 - 4$

Etapa 1.3.4

Eleve $- 0.5$ à potência de $2$ .

$- 0.25 - 1 \cdot 0.25 - 9 \cdot - 0.5 - 4$

Etapa 1.3.5

Multiplique $- 1$ por $0.25$ .

$- 0.25 - 0.25 - 9 \cdot - 0.5 - 4$

Etapa 1.3.6

Subtraia $0.25$ de $- 0.25$ .

$- 0.5 - 9 \cdot - 0.5 - 4$

Etapa 1.3.7

Multiplique $- 9$ por $- 0.5$ .

$- 0.5 + 4.5 - 4$

Etapa 1.3.8

Some $- 0.5$ e $4.5$ .

$4 - 4$

Etapa 1.3.9

Subtraia $4$ de $4$ .

$0$

Etapa 1.4

Como $- 0.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4}{2 x + 1}$

Etapa 1.5

Divida $2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4$ por $2 x + 1$ .

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Etapa 1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$9 x$

$4$

Etapa 1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$

Etapa 1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Etapa 1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$

Etapa 1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$

Etapa 1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$

Etapa 1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$

Etapa 1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$

Etapa 1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$

Etapa 1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 8 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$

Etapa 1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	-	$4$

Etapa 1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 8 x - 4$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$
							+	$8 x$	+	$4$

Etapa 1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$
							+	$8 x$	+	$4$
										$0$

Etapa 1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - x - 4$

Etapa 1.6

Escreva $2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4$ como um conjunto de fatores.

$(2 x + 1) (x^{2} - x - 4) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x^{2} - x - 4 = 0$

Etapa 3

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $2 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 3.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 4

Defina $x^{2} - x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x^{2} - x - 4$ como igual a $0$ .

$x^{2} - x - 4 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x^{2} - x - 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 1$ e $c = - 4$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3

Simplifique.

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Etapa 4.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.3.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Etapa 4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.3

Some $1$ e $16$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$

Etapa 4.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x + 1) (x^{2} - x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

Forma decimal:

$x = - 0.5, 2.56155281 \dots, - 1.56155281 \dots$

Etapa 7