Matemática discreta Exemplos

$x^{5} + x^{4} - x - 1 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{5} + x^{4}) - x - 1 = 0$

Etapa 1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{4} (x + 1) - (x + 1) = 0$

Etapa 1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 1$ .

$(x + 1) (x^{4} - 1) = 0$

Etapa 1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x + 1) ({(x^{2})}^{2} - 1) = 0$

Etapa 1.4

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(x + 1) ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) = 0$

Etapa 1.5

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 1$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1)) = 0$

Etapa 1.6

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Etapa 1.6.1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.2.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Etapa 1.6.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 1) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 1.6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 1) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 1.7

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$(x + 1) (x + 1) (x^{2} + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 1.7.2

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$(x + 1) (x + 1) (x^{2} + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 1.7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(x + 1)}^{1 + 1} (x^{2} + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 1.7.4

Some $1$ e $1$ .

${(x + 1)}^{2} (x^{2} + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 3

Defina ${(x + 1)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina ${(x + 1)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva ${(x + 1)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 3.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 4

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x^{2} + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 1$

Etapa 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 4.2.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 4.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 4.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 4.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam ${(x + 1)}^{2} (x^{2} + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, i, - i, 1$

Etapa 7