Matemática discreta Exemplos

$x^{3} + 6 x^{2} - 7 x - 60 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Fatore $x^{3} + 6 x^{2} - 7 x - 60$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1$

Etapa 1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

Etapa 1.1.3

Substitua $3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $3$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.1.3.1

Substitua $3$ no polinômio.

$3^{3} + 6 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 - 60$

Etapa 1.1.3.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 + 6 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 - 60$

Etapa 1.1.3.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$27 + 6 \cdot 9 - 7 \cdot 3 - 60$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $6$ por $9$ .

$27 + 54 - 7 \cdot 3 - 60$

Etapa 1.1.3.5

Some $27$ e $54$ .

$81 - 7 \cdot 3 - 60$

Etapa 1.1.3.6

Multiplique $- 7$ por $3$ .

$81 - 21 - 60$

Etapa 1.1.3.7

Subtraia $21$ de $81$ .

$60 - 60$

Etapa 1.1.3.8

Subtraia $60$ de $60$ .

$0$

Etapa 1.1.4

Como $3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} - 7 x - 60}{x - 3}$

Etapa 1.1.5

Divida $x^{3} + 6 x^{2} - 7 x - 60$ por $x - 3$ .

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Etapa 1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$7 x$

$60$

Etapa 1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$

Etapa 1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Etapa 1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Etapa 1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$

Etapa 1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$

Etapa 1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $9 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$

Etapa 1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$27 x$

Etapa 1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $9 x^{2} - 27 x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$27 x$

Etapa 1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$27 x$
							+	$20 x$

Etapa 1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$27 x$
							+	$20 x$	-	$60$

Etapa 1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $20 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$27 x$
							+	$20 x$	-	$60$

Etapa 1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$27 x$
							+	$20 x$	-	$60$
							+	$20 x$	-	$60$

Etapa 1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $20 x - 60$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$27 x$
							+	$20 x$	-	$60$
							-	$20 x$	+	$60$

Etapa 1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$27 x$
							+	$20 x$	-	$60$
							-	$20 x$	+	$60$
										$0$

Etapa 1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + 9 x + 20$

Etapa 1.1.6

Escreva $x^{3} + 6 x^{2} - 7 x - 60$ como um conjunto de fatores.

$(x - 3) (x^{2} + 9 x + 20) = 0$

Etapa 1.2

Fatore $x^{2} + 9 x + 20$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Fatore $x^{2} + 9 x + 20$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $20$ e cuja soma é $9$ .

$4, 5$

Etapa 1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 3) ((x + 4) (x + 5)) = 0$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 3) (x + 4) (x + 5) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 3

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 4

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 4.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 5

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (x + 4) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 4, - 5$

Etapa 7