Matemática discreta Exemplos

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4$

Etapa 1

Defina $x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4$ como igual a $0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$- 3 x^{3} + 3 x + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x^{3} + 3 x$ .

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Etapa 2.1.2.1

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 3 x + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $- 3 x$ de $3 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 1 + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 1)$ .

$- 3 x (x^{2} - 1) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore.

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Etapa 2.1.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$- 3 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Etapa 2.1.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Etapa 2.1.5

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Etapa 2.1.6

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore $u^{2} - 5 u + 4$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.7.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $4$ e cuja soma é $- 5$ .

$- 4, - 1$

Etapa 2.1.7.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (u - 4) (u - 1) = 0$

Etapa 2.1.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 4) (x^{2} - 1) = 0$

Etapa 2.1.9

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 1) = 0$

Etapa 2.1.10

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1) = 0$

Etapa 2.1.11

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Etapa 2.1.12

Fatore.

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Etapa 2.1.12.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 2.1.12.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 2.1.13

Fatore $(x + 1) (x - 1)$ de $- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)$ .

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Etapa 2.1.13.1

Fatore $(x + 1) (x - 1)$ de $- 3 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 2.1.13.2

Fatore $(x + 1) (x - 1)$ de $(x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 2.1.13.3

Fatore $(x + 1) (x - 1)$ de $(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) ((x + 2) (x - 2))$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 2.1.14

Expanda $(x + 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

Etapa 2.1.14.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

Etapa 2.1.14.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Etapa 2.1.15

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Etapa 2.1.15.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 2$ e $2 x$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Etapa 2.1.15.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

Etapa 2.1.15.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

Etapa 2.1.16

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.16.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Etapa 2.1.16.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

Etapa 2.1.17

Reordene os termos.

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

Etapa 2.1.18

Fatore.

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Etapa 2.1.18.1

Fatore $x^{2} - 3 x - 4$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.18.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 4$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 4, 1$

Etapa 2.1.18.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 1) (x - 1) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

Etapa 2.1.18.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 1) (x - 1) (x - 4) (x + 1) = 0$

Etapa 2.1.19

Combine expoentes.

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Etapa 2.1.19.1

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$(x + 1) (x + 1) (x - 1) (x - 4) = 0$

Etapa 2.1.19.2

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$(x + 1) (x + 1) (x - 1) (x - 4) = 0$

Etapa 2.1.19.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(x + 1)}^{1 + 1} (x - 1) (x - 4) = 0$

Etapa 2.1.19.4

Some $1$ e $1$ .

${(x + 1)}^{2} (x - 1) (x - 4) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 2.3

Defina ${(x + 1)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina ${(x + 1)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva ${(x + 1)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.3.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.5

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam ${(x + 1)}^{2} (x - 1) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 1, 4$

Etapa 3