Matemática discreta Exemplos

$f (x) = x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 18$

Etapa 1

Defina $x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 18$ como igual a $0$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 18 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$4 x^{3} - 12 x + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} - 12 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 12 x + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $4 x$ de $- 12 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 3) + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 3)$ .

$4 x (x^{2} - 3) + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 3) + {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Etapa 2.1.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 3) + u^{2} + 3 u - 18 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $u^{2} + 3 u - 18$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 18$ e cuja soma é $3$ .

$- 3, 6$

Etapa 2.1.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$4 x (x^{2} - 3) + (u - 3) (u + 6) = 0$

Etapa 2.1.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6) = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore $x^{2} - 3$ de $4 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1

Fatore $x^{2} - 3$ de $4 x (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) (4 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6) = 0$

Etapa 2.1.7.2

Fatore $x^{2} - 3$ de $(x^{2} - 3) (4 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6)$ .

$(x^{2} - 3) (4 x + x^{2} + 6) = 0$

Etapa 2.1.8

Reordene os termos.

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 4 x + 6) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 4 x + 6 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $x^{2} - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 3$

Etapa 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Etapa 2.3.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{3}$

Etapa 2.3.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{3}$

Etapa 2.3.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 2.4

Defina $x^{2} + 4 x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $x^{2} + 4 x + 6$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 4 x + 6 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} + 4 x + 6 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 4$ e $c = 6$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.3

Subtraia $24$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.4

Reescreva $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (8)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.7

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1.7.1

Fatore $4$ de $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.4.2.3.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm i \sqrt{2}$

Etapa 2.4.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 2 + i \sqrt{2}, - 2 - i \sqrt{2}$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} - 3) (x^{2} + 4 x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, - 2 + i \sqrt{2}, - 2 - i \sqrt{2}$

Etapa 3