Matemática discreta Exemplos

$\frac{\frac{x^{2} - y^{2}}{x y}}{\frac{1}{y} - \frac{1}{x}}$

Etapa 1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x y} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y} - \frac{1}{x}}$

Etapa 2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x y} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y} - \frac{1}{x}}$

Etapa 3

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.1

Para escrever $\frac{1}{y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x y} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}$

Etapa 3.2

Para escrever $- \frac{1}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x y} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y}}$

Etapa 3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $y x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.3.1

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x y} \cdot \frac{1}{\frac{x}{y x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y}}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x y} \cdot \frac{1}{\frac{x}{y x} - \frac{y}{x y}}$

Etapa 3.3.3

Reordene os fatores de $y x$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x y} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x y} - \frac{y}{x y}}$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x y} \cdot \frac{1}{\frac{x - y}{x y}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x y} (1 \frac{x y}{x - y})$

Etapa 5

Multiplique $\frac{x y}{x - y}$ por $1$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x y} \cdot \frac{x y}{x - y}$

Etapa 6

Cancele o fator comum de $x - y$ .

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Etapa 6.1

Fatore $x - y$ de $(x + y) (x - y)$ .

$\frac{(x - y) (x + y)}{x y} \cdot \frac{x y}{x - y}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - y) (x + y)}{x y} \cdot \frac{x y}{x - y}$

Etapa 6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x + y}{x y} (x y)$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $x y$ .

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x + y}{x y} (x y)$

Etapa 7.2

Reescreva a expressão.

$x + y$