Matemática discreta Exemplos

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}}$

Etapa 1

Multiplique $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}$

Etapa 2

Combine frações.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{(\sqrt{2} - \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}$

Etapa 2.2

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{10} - \sqrt{10} - {\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

Etapa 3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1

Eleve $\sqrt{2} + \sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{1} (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

Etapa 3.2

Eleve $\sqrt{2} + \sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{1} {(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{1}}{- 3}$

Etapa 3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{1 + 1}}{- 3}$

Etapa 3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{2}}{- 3}$

Etapa 4

Reescreva ${(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{2}$ como $(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

Etapa 5

Expanda $(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Etapa 6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Etapa 6.1.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Etapa 6.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{2 + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Etapa 6.1.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{2 + \sqrt{2 \cdot 5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Etapa 6.1.6

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Etapa 6.1.7

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{5 \cdot 2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Etapa 6.1.8

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Etapa 6.1.9

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{5 \cdot 5}}{- 3}$

Etapa 6.1.10

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{25}}{- 3}$

Etapa 6.1.11

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{5^{2}}}{- 3}$

Etapa 6.1.12

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + 5}{- 3}$

Etapa 6.2

Some $2$ e $5$ .

$\frac{7 + \sqrt{10} + \sqrt{10}}{- 3}$

Etapa 6.3

Some $\sqrt{10}$ e $\sqrt{10}$ .

$\frac{7 + 2 \sqrt{10}}{- 3}$

Etapa 7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{7 + 2 \sqrt{10}}{3}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{7 + 2 \sqrt{10}}{3}$

Forma decimal:

$- 4.44151844 \dots$