Matemática discreta Exemplos

$y = \sqrt{t^{2} - 2 t} - 3$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{t^{2} - 2 t}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$t^{2} - 2 t \geq 0$

Etapa 2

Resolva $t$ .

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Etapa 2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$t^{2} - 2 t = 0$

Etapa 2.2

Fatore $t$ de $t^{2} - 2 t$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $t$ de $t^{2}$ .

$t \cdot t - 2 t = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $t$ de $- 2 t$ .

$t \cdot t + t \cdot - 2 = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $t$ de $t \cdot t + t \cdot - 2$ .

$t (t - 2) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$t = 0$

$t - 2 = 0$

Etapa 2.4

Defina $t$ como igual a $0$ .

$t = 0$

Etapa 2.5

Defina $t - 2$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $t - 2$ como igual a $0$ .

$t - 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$t = 2$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $t (t - 2) = 0$ verdadeiro.

$t = 0, 2$

Etapa 2.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$t < 0$

$0 < t < 2$

$t > 2$

Etapa 2.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.8.1

Teste um valor no intervalo $t < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $t < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$t = - 2$

Etapa 2.8.1.2

Substitua $t$ por $- 2$ na desigualdade original.

${(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 \geq 0$

Etapa 2.8.1.3

O lado esquerdo $8$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.8.2

Teste um valor no intervalo $0 < t < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < t < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$t = 1$

Etapa 2.8.2.2

Substitua $t$ por $1$ na desigualdade original.

${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 \geq 0$

Etapa 2.8.2.3

O lado esquerdo $- 1$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.8.3

Teste um valor no intervalo $t > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $t > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$t = 4$

Etapa 2.8.3.2

Substitua $t$ por $4$ na desigualdade original.

${(4)}^{2} - 2 \cdot 4 \geq 0$

Etapa 2.8.3.3

O lado esquerdo $8$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$t < 0$ Verdadeiro

$0 < t < 2$ Falso

$t > 2$ Verdadeiro

$t < 0$ Verdadeiro

$0 < t < 2$ Falso

$t > 2$ Verdadeiro

Etapa 2.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$t \leq 0$ ou $t \geq 2$

Etapa 3

O domínio consiste em todos os valores de $t$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0] \cup [2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${t | t \leq 0, t \geq 2}$

Etapa 4