Matemática discreta Exemplos

$\sqrt{7 x + 1} = 1 + \sqrt{5 x}$

Etapa 1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{7 x + 1}}^{2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Etapa 2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7 x + 1}$ como ${(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique ${({(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(7 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(7 x + 1)}^{1} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

$7 x + 1 = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique ${(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Reescreva ${(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$ como $(1 + \sqrt{5 x}) (1 + \sqrt{5 x})$ .

$7 x + 1 = (1 + \sqrt{5 x}) (1 + \sqrt{5 x})$

Etapa 2.3.1.2

Expanda $(1 + \sqrt{5 x}) (1 + \sqrt{5 x})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$7 x + 1 = 1 (1 + \sqrt{5 x}) + \sqrt{5 x} (1 + \sqrt{5 x})$

Etapa 2.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$7 x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} (1 + \sqrt{5 x})$

Etapa 2.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$7 x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \cdot 1 + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$7 x + 1 = 1 + 1 \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \cdot 1 + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

Etapa 2.3.1.3.1.2

Multiplique $\sqrt{5 x}$ por $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \cdot 1 + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

Etapa 2.3.1.3.1.3

Multiplique $\sqrt{5 x}$ por $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

Etapa 2.3.1.3.1.4

Multiplique $\sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1.4.1

Eleve $\sqrt{5 x}$ à potência de $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{1} \sqrt{5 x}$

Etapa 2.3.1.3.1.4.2

Eleve $\sqrt{5 x}$ à potência de $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{1} {\sqrt{5 x}}^{1}$

Etapa 2.3.1.3.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{1 + 1}$

Etapa 2.3.1.3.1.4.4

Some $1$ e $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{2}$

Etapa 2.3.1.3.1.5

Reescreva ${\sqrt{5 x}}^{2}$ como $5 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 x}$ como ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {({(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 2.3.1.3.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 2.3.1.3.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.3.1.3.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.3.1.3.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{1}$

Etapa 2.3.1.3.1.5.5

Simplifique.

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + 5 x$

Etapa 2.3.1.3.2

Some $\sqrt{5 x}$ e $\sqrt{5 x}$ .

$7 x + 1 = 1 + 2 \sqrt{5 x} + 5 x$

Etapa 3

Resolva $2 \sqrt{5 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $1 + 2 \sqrt{5 x} + 5 x = 7 x + 1$ .

$1 + 2 \sqrt{5 x} + 5 x = 7 x + 1$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que não contêm $2 \sqrt{5 x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 \sqrt{5 x} + 5 x = 7 x + 1 - 1$

Etapa 3.2.2

Subtraia $5 x$ dos dois lados da equação.

$2 \sqrt{5 x} = 7 x + 1 - 1 - 5 x$

Etapa 3.2.3

Combine os termos opostos em $7 x + 1 - 1 - 5 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$2 \sqrt{5 x} = 7 x + 0 - 5 x$

Etapa 3.2.3.2

Some $7 x$ e $0$ .

$2 \sqrt{5 x} = 7 x - 5 x$

Etapa 3.2.4

Subtraia $5 x$ de $7 x$ .

$2 \sqrt{5 x} = 2 x$

Etapa 4

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{5 x})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Etapa 5

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 x}$ como ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique ${(2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Aplique a regra do produto a $5 x$ .

${(2 (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Etapa 5.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 5.2.1.2.1

Aplique a regra do produto a $2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 \cdot 5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Etapa 5.2.1.2.2

Aplique a regra do produto a $2 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique os expoentes em ${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Etapa 5.2.1.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Etapa 5.2.1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$4 \cdot 5^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Etapa 5.2.1.5

Avalie o expoente.

$4 \cdot 5 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Etapa 5.2.1.6

Multiplique $4$ por $5$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Etapa 5.2.1.7

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.7.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Etapa 5.2.1.7.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.7.2.1

Cancele o fator comum.

$20 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Etapa 5.2.1.7.2.2

Reescreva a expressão.

$20 x^{1} = {(2 x)}^{2}$

Etapa 5.2.1.8

Simplifique.

$20 x = {(2 x)}^{2}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique ${(2 x)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

$20 x = 2^{2} x^{2}$

Etapa 5.3.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$20 x = 4 x^{2}$

Etapa 6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Subtraia $4 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$20 x - 4 x^{2} = 0$

Etapa 6.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$20 u - 4 u^{2} = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore $4 u$ de $20 u - 4 u^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Fatore $4 u$ de $20 u$ .

$4 u (5) - 4 u^{2} = 0$

Etapa 6.2.2.2

Fatore $4 u$ de $- 4 u^{2}$ .

$4 u (5) + 4 u (- u) = 0$

Etapa 6.2.2.3

Fatore $4 u$ de $4 u (5) + 4 u (- u)$ .

$4 u (5 - u) = 0$

Etapa 6.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$4 x (5 - x) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$5 - x = 0$

Etapa 6.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.5

Defina $5 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Defina $5 - x$ como igual a $0$ .

$5 - x = 0$

Etapa 6.5.2

Resolva $5 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$- x = - 5$

Etapa 6.5.2.2

Divida cada termo em $- x = - 5$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 5$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 6.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 6.5.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 6.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.3.1

Divida $- 5$ por $- 1$ .

$x = 5$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (5 - x) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 5$

Etapa 7