Matemática discreta Exemplos

\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$

Etapa 1

Mova o número negativo para a frente da fração.

- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

{(1 + 4 x)}^{2}, 4

${(1 + 4 x)}^{2}, 4$

Etapa 2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.3

O número

1

$1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.4

4

$4$ tem fatores de

2

$2$ e

2

$2$ .

2 \cdot 2

$2 \cdot 2$

Etapa 2.5

Multiplique

2

$2$ por

2

$2$ .

4

$4$

Etapa 2.6

Os fatores de

1 + 4 x

$1 + 4 x$ são

(1 + 4 x) \cdot (1 + 4 x)

$(1 + 4 x) \cdot (1 + 4 x)$ , que é

1 + 4 x

$1 + 4 x$ multiplicado por si mesmo por

2

$2$ vezes.

(1 + 4 x) = (1 + 4 x) \cdot (1 + 4 x)

$(1 + 4 x) = (1 + 4 x) \cdot (1 + 4 x)$

(1 + 4 x)

$(1 + 4 x)$ ocorre

2

$2$ vezes.

Etapa 2.7

O MMC de

{(1 + 4 x)}^{2}

${(1 + 4 x)}^{2}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

{(1 + 4 x)}^{2}

${(1 + 4 x)}^{2}$

Etapa 2.8

O mínimo múltiplo comum

LCM

$LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

4 {(1 + 4 x)}^{2}

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$

4 {(1 + 4 x)}^{2}

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$

Etapa 3

Multiplique cada termo em

- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$ por

4 {(1 + 4 x)}^{2}

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique cada termo em

- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$ por

4 {(1 + 4 x)}^{2}

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} (4 {(1 + 4 x)}^{2}) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} (4 {(1 + 4 x)}^{2}) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de

{(1 + 4 x)}^{2}

${(1 + 4 x)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em

- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}}

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}}$ para o numerador.

\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} (4 {(1 + 4 x)}^{2}) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} (4 {(1 + 4 x)}^{2}) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Etapa 3.2.1.2

Fatore

{(1 + 4 x)}^{2}

${(1 + 4 x)}^{2}$ de

4 {(1 + 4 x)}^{2}

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} ({(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} ({(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Etapa 3.2.1.3

Cancele o fator comum.

\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} ({(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} ({(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Etapa 3.2.1.4

Reescreva a expressão.

- x^{2} \cdot 4 = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})

$- x^{2} \cdot 4 = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

- x^{2} \cdot 4 = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})

$- x^{2} \cdot 4 = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Etapa 3.2.2

Multiplique

4

$4$ por

- 1

$- 1$ .

- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de

4

$4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Fatore

4

$4$ de

4 {(1 + 4 x)}^{2}

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 ({(1 + 4 x)}^{2}))

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 ({(1 + 4 x)}^{2}))$

Etapa 3.3.1.2

Cancele o fator comum.

- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Etapa 3.3.1.3

Reescreva a expressão.

- 4 x^{2} = 5 {(1 + 4 x)}^{2}

$- 4 x^{2} = 5 {(1 + 4 x)}^{2}$

- 4 x^{2} = 5 {(1 + 4 x)}^{2}

$- 4 x^{2} = 5 {(1 + 4 x)}^{2}$

- 4 x^{2} = 5 {(1 + 4 x)}^{2}

$- 4 x^{2} = 5 {(1 + 4 x)}^{2}$

- 4 x^{2} = 5 {(1 + 4 x)}^{2}

$- 4 x^{2} = 5 {(1 + 4 x)}^{2}$

Etapa 4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique

5 {(1 + 4 x)}^{2}

$5 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Reescreva

{(1 + 4 x)}^{2}

${(1 + 4 x)}^{2}$ como

(1 + 4 x) (1 + 4 x)

$(1 + 4 x) (1 + 4 x)$ .

- 4 x^{2} = 5 ((1 + 4 x) (1 + 4 x))

$- 4 x^{2} = 5 ((1 + 4 x) (1 + 4 x))$

Etapa 4.1.2

Expanda

(1 + 4 x) (1 + 4 x)

$(1 + 4 x) (1 + 4 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

- 4 x^{2} = 5 (1 (1 + 4 x) + 4 x (1 + 4 x))

$- 4 x^{2} = 5 (1 (1 + 4 x) + 4 x (1 + 4 x))$

Etapa 4.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x (1 + 4 x))

$- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x (1 + 4 x))$

Etapa 4.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))

$- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))

$- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

Etapa 4.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1.1

Multiplique

1

$1$ por

1

$1$ .

- 4 x^{2} = 5 (1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

Etapa 4.1.3.1.2

Multiplique

4 x

$4 x$ por

1

$1$ .

- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

Etapa 4.1.3.1.3

Multiplique

4

$4$ por

1

$1$ .

- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 x (4 x))

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 x (4 x))$

Etapa 4.1.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x \cdot x)

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x \cdot x)$

Etapa 4.1.3.1.5

Multiplique

x

$x$ por

x

$x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1.5.1

Mova

x

$x$ .

- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 (x \cdot x))

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 (x \cdot x))$

Etapa 4.1.3.1.5.2

Multiplique

x

$x$ por

x

$x$ .

- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x^{2})

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x^{2})$

- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x^{2})

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x^{2})$

Etapa 4.1.3.1.6

Multiplique

4

$4$ por

4

$4$ .

- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 16 x^{2})

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 16 x^{2})$

- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 16 x^{2})

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 16 x^{2})$

Etapa 4.1.3.2

Some

4 x

$4 x$ e

4 x

$4 x$ .

- 4 x^{2} = 5 (1 + 8 x + 16 x^{2})

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 8 x + 16 x^{2})$

- 4 x^{2} = 5 (1 + 8 x + 16 x^{2})

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 8 x + 16 x^{2})$

Etapa 4.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

- 4 x^{2} = 5 \cdot 1 + 5 (8 x) + 5 (16 x^{2})

$- 4 x^{2} = 5 \cdot 1 + 5 (8 x) + 5 (16 x^{2})$

Etapa 4.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Multiplique

5

$5$ por

1

$1$ .

- 4 x^{2} = 5 + 5 (8 x) + 5 (16 x^{2})

$- 4 x^{2} = 5 + 5 (8 x) + 5 (16 x^{2})$

Etapa 4.1.5.2

Multiplique

8

$8$ por

5

$5$ .

- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 5 (16 x^{2})

$- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 5 (16 x^{2})$

Etapa 4.1.5.3

Multiplique

16

$16$ por

5

$5$ .

- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 80 x^{2}

$- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 80 x^{2}$

- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 80 x^{2}

$- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 80 x^{2}$

- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 80 x^{2}

$- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 80 x^{2}$

Etapa 4.2

Como

x

$x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

5 + 40 x + 80 x^{2} = - 4 x^{2}

$5 + 40 x + 80 x^{2} = - 4 x^{2}$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que contêm

x

$x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Some

4 x^{2}

$4 x^{2}$ aos dois lados da equação.

5 + 40 x + 80 x^{2} + 4 x^{2} = 0

$5 + 40 x + 80 x^{2} + 4 x^{2} = 0$

Etapa 4.3.2

Some

80 x^{2}

$80 x^{2}$ e

4 x^{2}

$4 x^{2}$ .

5 + 40 x + 84 x^{2} = 0

$5 + 40 x + 84 x^{2} = 0$

5 + 40 x + 84 x^{2} = 0

$5 + 40 x + 84 x^{2} = 0$

Etapa 4.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.5

Substitua os valores

a = 84

$a = 84$ ,

b = 40

$b = 40$ e

c = 5

$c = 5$ na fórmula quadrática e resolva

x

$x$ .

\frac{- 40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot (84 \cdot 5)}}{2 \cdot 84}

$\frac{- 40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot (84 \cdot 5)}}{2 \cdot 84}$

Etapa 4.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.1

Eleve

40

$40$ à potência de

2

$2$ .

x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 84 \cdot 5}}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 84 \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

Etapa 4.6.1.2

Multiplique

- 4 \cdot 84 \cdot 5

$- 4 \cdot 84 \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.1

Multiplique

- 4

$- 4$ por

84

$84$ .

x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 336 \cdot 5}}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 336 \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

Etapa 4.6.1.2.2

Multiplique

- 336

$- 336$ por

5

$5$ .

x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1680}}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1680}}{2 \cdot 84}$

x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1680}}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1680}}{2 \cdot 84}$

Etapa 4.6.1.3

Subtraia

1680

$1680$ de

1600

$1600$ .

x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 84}$

Etapa 4.6.1.4

Reescreva

- 80

$- 80$ como

- 1 (80)

$- 1 (80)$ .

x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 84}$

Etapa 4.6.1.5

Reescreva

\sqrt{- 1 (80)}

$\sqrt{- 1 (80)}$ como

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ .

x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 84}$

Etapa 4.6.1.6

Reescreva

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ como

i

$i$ .

x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 84}$

Etapa 4.6.1.7

Reescreva

80

$80$ como

4^{2} \cdot 5

$4^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.7.1

Fatore

16

$16$ de

80

$80$ .

x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 84}$

Etapa 4.6.1.7.2

Reescreva

16

$16$ como

4^{2}

$4^{2}$ .

x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

Etapa 4.6.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

x = \frac{- 40 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 84}$

Etapa 4.6.1.9

Mova

4

$4$ para a esquerda de

i

$i$ .

x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 84}$

x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 84}$

Etapa 4.6.2

Multiplique

2

$2$ por

84

$84$ .

x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{168}

$x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{168}$

Etapa 4.6.3

Simplifique

\frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{168}

$\frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{168}$ .

x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}

$x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}$

x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}

$x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}$

Etapa 4.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

x = - \frac{10 - i \sqrt{5}}{42}, - \frac{10 + i \sqrt{5}}{42}

$x = - \frac{10 - i \sqrt{5}}{42}, - \frac{10 + i \sqrt{5}}{42}$

x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}

$x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}$

Etapa 5