Matemática discreta Exemplos

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$

Etapa 1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

${(1 + 4 x)}^{2}, 4$

Etapa 2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.4

$4$ tem fatores de $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2$

Etapa 2.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$4$

Etapa 2.6

Os fatores de $1 + 4 x$ são $(1 + 4 x) \cdot (1 + 4 x)$ , que é $1 + 4 x$ multiplicado por si mesmo por $2$ vezes.

$(1 + 4 x) = (1 + 4 x) \cdot (1 + 4 x)$

$(1 + 4 x)$ ocorre $2$ vezes.

Etapa 2.7

O MMC de ${(1 + 4 x)}^{2}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

${(1 + 4 x)}^{2}$

Etapa 2.8

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$ por $4 {(1 + 4 x)}^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$ por $4 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} (4 {(1 + 4 x)}^{2}) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de ${(1 + 4 x)}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} (4 {(1 + 4 x)}^{2}) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Etapa 3.2.1.2

Fatore ${(1 + 4 x)}^{2}$ de $4 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} ({(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Etapa 3.2.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} ({(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Etapa 3.2.1.4

Reescreva a expressão.

$- x^{2} \cdot 4 = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Etapa 3.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.3.1.1

Fatore $4$ de $4 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 ({(1 + 4 x)}^{2}))$

Etapa 3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Etapa 3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$- 4 x^{2} = 5 {(1 + 4 x)}^{2}$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Simplifique $5 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

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Etapa 4.1.1

Reescreva ${(1 + 4 x)}^{2}$ como $(1 + 4 x) (1 + 4 x)$ .

$- 4 x^{2} = 5 ((1 + 4 x) (1 + 4 x))$

Etapa 4.1.2

Expanda $(1 + 4 x) (1 + 4 x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 x^{2} = 5 (1 (1 + 4 x) + 4 x (1 + 4 x))$

Etapa 4.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x (1 + 4 x))$

Etapa 4.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

Etapa 4.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.3.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

Etapa 4.1.3.1.2

Multiplique $4 x$ por $1$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

Etapa 4.1.3.1.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 x (4 x))$

Etapa 4.1.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x \cdot x)$

Etapa 4.1.3.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.3.1.5.1

Mova $x$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 (x \cdot x))$

Etapa 4.1.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x^{2})$

Etapa 4.1.3.1.6

Multiplique $4$ por $4$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 16 x^{2})$

Etapa 4.1.3.2

Some $4 x$ e $4 x$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 8 x + 16 x^{2})$

Etapa 4.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 x^{2} = 5 \cdot 1 + 5 (8 x) + 5 (16 x^{2})$

Etapa 4.1.5

Simplifique.

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Etapa 4.1.5.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$- 4 x^{2} = 5 + 5 (8 x) + 5 (16 x^{2})$

Etapa 4.1.5.2

Multiplique $8$ por $5$ .

$- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 5 (16 x^{2})$

Etapa 4.1.5.3

Multiplique $16$ por $5$ .

$- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 80 x^{2}$

Etapa 4.2

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$5 + 40 x + 80 x^{2} = - 4 x^{2}$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.3.1

Some $4 x^{2}$ aos dois lados da equação.

$5 + 40 x + 80 x^{2} + 4 x^{2} = 0$

Etapa 4.3.2

Some $80 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$5 + 40 x + 84 x^{2} = 0$

Etapa 4.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.5

Substitua os valores $a = 84$ , $b = 40$ e $c = 5$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot (84 \cdot 5)}}{2 \cdot 84}$

Etapa 4.6

Simplifique.

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Etapa 4.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1.1

Eleve $40$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 84 \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

Etapa 4.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 84 \cdot 5$ .

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Etapa 4.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $84$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 336 \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

Etapa 4.6.1.2.2

Multiplique $- 336$ por $5$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1680}}{2 \cdot 84}$

Etapa 4.6.1.3

Subtraia $1680$ de $1600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 84}$

Etapa 4.6.1.4

Reescreva $- 80$ como $- 1 (80)$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 84}$

Etapa 4.6.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (80)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 84}$

Etapa 4.6.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 84}$

Etapa 4.6.1.7

Reescreva $80$ como $4^{2} \cdot 5$ .

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Etapa 4.6.1.7.1

Fatore $16$ de $80$ .

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 84}$

Etapa 4.6.1.7.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

Etapa 4.6.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 84}$

Etapa 4.6.1.9

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 84}$

Etapa 4.6.2

Multiplique $2$ por $84$ .

$x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{168}$

Etapa 4.6.3

Simplifique $\frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{168}$ .

$x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}$

Etapa 4.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{10 - i \sqrt{5}}{42}, - \frac{10 + i \sqrt{5}}{42}$

$x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}$

Etapa 5