Matemática discreta Exemplos

$f (x) = x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$

Etapa 1

Defina $x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$ como igual a $0$ .

$x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$10 x^{3} - 10 x + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $10 x$ de $10 x^{3} - 10 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $10 x$ de $10 x^{3}$ .

$10 x (x^{2}) - 10 x + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $10 x$ de $- 10 x$ .

$10 x (x^{2}) + 10 x (- 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $10 x$ de $10 x (x^{2}) + 10 x (- 1)$ .

$10 x (x^{2} - 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$10 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$10 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Etapa 2.1.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$10 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Etapa 2.1.5

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Etapa 2.1.6

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} - 12 u + 11 = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore $u^{2} - 12 u + 11$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $11$ e cuja soma é $- 12$ .

$- 11, - 1$

Etapa 2.1.7.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$10 x (x + 1) (x - 1) + (u - 11) (u - 1) = 0$

Etapa 2.1.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 1) = 0$

Etapa 2.1.9

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Etapa 2.1.10

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 2.1.10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 2.1.11

Fatore $(x + 1) (x - 1)$ de $10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1)$ .

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Etapa 2.1.11.1

Fatore $(x + 1) (x - 1)$ de $10 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 2.1.11.2

Fatore $(x + 1) (x - 1)$ de $(x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 11) = 0$

Etapa 2.1.11.3

Fatore $(x + 1) (x - 1)$ de $(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 11)$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 x + x^{2} - 11) = 0$

Etapa 2.1.12

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 u + u^{2} - 11) = 0$

Etapa 2.1.13

Fatore $10 u + u^{2} - 11$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.13.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 11$ e cuja soma é $10$ .

$- 1, 11$

Etapa 2.1.13.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 1) (x - 1) ((u - 1) (u + 11)) = 0$

Etapa 2.1.14

Fatore.

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Etapa 2.1.14.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x - 1) (x + 11)) = 0$

Etapa 2.1.14.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 1) (x - 1) (x - 1) (x + 11) = 0$

Etapa 2.1.15

Combine expoentes.

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Etapa 2.1.15.1

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1)) (x + 11) = 0$

Etapa 2.1.15.2

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1)) (x + 11) = 0$

Etapa 2.1.15.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x + 1) {(x - 1)}^{1 + 1} (x + 11) = 0$

Etapa 2.1.15.4

Some $1$ e $1$ .

$(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 11) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 11 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.4

Defina ${(x - 1)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina ${(x - 1)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva ${(x - 1)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.4.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.5

Defina $x + 11$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 11$ como igual a $0$ .

$x + 11 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $11$ dos dois lados da equação.

$x = - 11$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 11) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 1, - 11$

Etapa 3