Matemática discreta Exemplos

$5 x^{2} - 2 x + 13 = 18 x + 1$

Etapa 1

Simplifique a equação em uma forma adequada para completar o quadrado.

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Etapa 1.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1.1

Subtraia $13$ dos dois lados da equação.

$5 x^{2} - 2 x = 18 x + 1 - 13$

Etapa 1.1.2

Subtraia $13$ de $1$ .

$5 x^{2} - 2 x = 18 x - 12$

Etapa 1.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1

Subtraia $18 x$ dos dois lados da equação.

$5 x^{2} - 2 x - 18 x = - 12$

Etapa 1.2.2

Subtraia $18 x$ de $- 2 x$ .

$5 x^{2} - 20 x = - 12$

Etapa 2

Divida cada termo em $5 x^{2} - 20 x = - 12$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 2.1

Divida cada termo em $5 x^{2} - 20 x = - 12$ por $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} + \frac{- 20 x}{5} = \frac{- 12}{5}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x^{2}}{5} + \frac{- 20 x}{5} = \frac{- 12}{5}$

Etapa 2.2.1.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{- 20 x}{5} = \frac{- 12}{5}$

Etapa 2.2.1.2

Cancele o fator comum de $- 20$ e $5$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Fatore $5$ de $- 20 x$ .

$x^{2} + \frac{5 (- 4 x)}{5} = \frac{- 12}{5}$

Etapa 2.2.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.1.2.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$x^{2} + \frac{5 (- 4 x)}{5 (1)} = \frac{- 12}{5}$

Etapa 2.2.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} + \frac{5 (- 4 x)}{5 \cdot 1} = \frac{- 12}{5}$

Etapa 2.2.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} + \frac{- 4 x}{1} = \frac{- 12}{5}$

Etapa 2.2.1.2.2.4

Divida $- 4 x$ por $1$ .

$x^{2} - 4 x = \frac{- 12}{5}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} - 4 x = - \frac{12}{5}$

Etapa 3

Para criar um quadrado trinomial do lado esquerdo da equação, encontre um valor que seja igual ao quadrado da metade de $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Etapa 4

Some o termo com cada lado da equação.

$x^{2} - 4 x + {(- 2)}^{2} = - \frac{12}{5} + {(- 2)}^{2}$

Etapa 5

Simplifique a equação.

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = - \frac{12}{5} + {(- 2)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.1

Simplifique $- \frac{12}{5} + {(- 2)}^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = - \frac{12}{5} + 4$

Etapa 5.2.1.2

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = - \frac{12}{5} + 4 \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 5.2.1.3

Combine $4$ e $\frac{5}{5}$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = - \frac{12}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5}$

Etapa 5.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{2} - 4 x + 4 = \frac{- 12 + 4 \cdot 5}{5}$

Etapa 5.2.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.1.5.1

Multiplique $4$ por $5$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = \frac{- 12 + 20}{5}$

Etapa 5.2.1.5.2

Some $- 12$ e $20$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = \frac{8}{5}$

Etapa 6

Fatore o trinômio quadrado perfeito em ${(x - 2)}^{2}$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{8}{5}$

Etapa 7

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - 2 = \pm \sqrt{\frac{8}{5}}$

Etapa 7.2

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{8}{5}}$ .

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Etapa 7.2.1

Reescreva $\sqrt{\frac{8}{5}}$ como $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}}$ .

$x - 2 = \pm \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.2.1

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$x - 2 = \pm \frac{\sqrt{4 (2)}}{\sqrt{5}}$

Etapa 7.2.2.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x - 2 = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{5}}$

Etapa 7.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Etapa 7.2.3

Multiplique $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 7.2.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.4.1

Multiplique $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 7.2.4.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Etapa 7.2.4.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Etapa 7.2.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 7.2.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 7.2.4.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 7.2.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 7.2.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 7.2.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.2.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.2.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Etapa 7.2.4.6.5

Avalie o expoente.

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Etapa 7.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.5.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{5 \cdot 2}}{5}$

Etapa 7.2.5.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$x - 2 = \pm \frac{2 \sqrt{10}}{5}$

Etapa 7.3

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{10}}{5} + 2$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \pm \frac{2 \sqrt{10}}{5} + 2$

Forma decimal:

$x = 3.26491106 \dots, 0.73508893 \dots$