Matemática discreta Exemplos

$x^{2} - y^{2} = 1$

Etapa 1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$- y^{2} = 1 - x^{2}$

Etapa 2

Divida cada termo em $- y^{2} = 1 - x^{2}$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.1

Divida cada termo em $- y^{2} = 1 - x^{2}$ por $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Etapa 2.2.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$y^{2} = - 1 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Etapa 2.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y^{2} = - 1 + \frac{x^{2}}{1}$

Etapa 2.3.1.3

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = - 1 + x^{2}$

Etapa 3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$

Etapa 4

Simplifique $\pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$ .

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Etapa 4.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 1^{2} + x^{2}}$

Etapa 4.1.2

Reordene $- 1^{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

Etapa 4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$y = \pm \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 6

Defina o radicando em $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(x + 1) (x - 1) \geq 0$

Etapa 7

Resolva $x$ .

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Etapa 7.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 7.2

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 7.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 7.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 7.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 7.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (x - 1) \geq 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 1$

Etapa 7.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 7.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 7.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 7.6.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$((- 4) + 1) ((- 4) - 1) \geq 0$

Etapa 7.6.1.3

O lado esquerdo $15$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 7.6.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 7.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$((0) + 1) ((0) - 1) \geq 0$

Etapa 7.6.2.3

O lado esquerdo $- 1$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 7.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 7.6.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$((4) + 1) ((4) - 1) \geq 0$

Etapa 7.6.3.3

O lado esquerdo $15$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 7.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

Etapa 7.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 1$ ou $x \geq 1$

Etapa 8

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \leq - 1, x \geq 1}$

Etapa 9