Matemática discreta Exemplos

\frac{4 sin (A) \cdot cos (A) \cdot cos (2 A) \cdot sin (15)}{sin (2 A) (tan (225) - 2 {sin}^{2} (A))}

$\frac{4 \sin (A) \cdot \cos (A) \cdot \cos (2 A) \cdot \sin (15)}{\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A))}$

Etapa 1

Defina o denominador em

$\frac{4 \sin (A) \cdot \cos (A) \cdot \cos (2 A) \cdot \sin (15)}{\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A))}$ como igual a

$0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)) = 0$

Etapa 2

Resolva

$A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a

$0$ , toda a expressão será igual a

$0$ .

$\sin (2 A) = 0$

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Etapa 2.2

Defina

$\sin (2 A)$ como igual a

$0$ e resolva para

$A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Defina

$\sin (2 A)$ como igual a

$0$ .

$\sin (2 A) = 0$

Etapa 2.2.2

Resolva

$\sin (2 A) = 0$ para

$A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair

$A$ de dentro do seno.

$2 A = \arcsin (0)$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

O valor exato de

$\arcsin (0)$ é

$0$ .

$2 A = 0$

Etapa 2.2.2.3

Divida cada termo em

$2 A = 0$ por

$2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.1

Divida cada termo em

$2 A = 0$ por

$2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.2.1

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 A}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2.2.3.2.1.2

Divida

$A$ por

$1$ .

$A = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.3.1

Divida

$0$ por

$2$ .

$A = 0$

Etapa 2.2.2.4

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de

$180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$2 A = 180 - 0$

Etapa 2.2.2.5

Resolva

$A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.5.1.1

Multiplique

$- 1$ por

$0$ .

$2 A = 180 + 0$

Etapa 2.2.2.5.1.2

Some

$180$ e

$0$ .

$2 A = 180$

Etapa 2.2.2.5.2

Divida cada termo em

$2 A = 180$ por

$2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.5.2.1

Divida cada termo em

$2 A = 180$ por

$2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{180}{2}$

Etapa 2.2.2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.5.2.2.1

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 A}{2} = \frac{180}{2}$

Etapa 2.2.2.5.2.2.1.2

Divida

$A$ por

$1$ .

$A = \frac{180}{2}$

Etapa 2.2.2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.5.2.3.1

Divida

$180$ por

$2$ .

$A = 90$

Etapa 2.2.2.6

Encontre o período de

$\sin (2 A)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar

$\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 2.2.2.6.2

Substitua

$b$ por

$2$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 2 |}$

Etapa 2.2.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre

$0$ e

$2$ é

$2$ .

$\frac{360}{2}$

Etapa 2.2.2.6.4

Divida

$360$ por

$2$ .

$180$

Etapa 2.2.2.7

O período da função

$\sin (2 A)$ é

$180$ . Portanto, os valores se repetirão a cada

$180$ graus nas duas direções.

$A = 180 n, 90 + 180 n$ , para qualquer número inteiro

$n$

$A = 180 n, 90 + 180 n$ , para qualquer número inteiro

$n$

$A = 180 n, 90 + 180 n$ , para qualquer número inteiro

$n$

Etapa 2.3

Defina

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)$ como igual a

$0$ e resolva para

$A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Defina

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)$ como igual a

$0$ .

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$ para

$A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\tan (45) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Etapa 2.3.2.1.1.2

O valor exato de

$\tan (45)$ é

$1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Etapa 2.3.2.2

Subtraia

$1$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sin^{2} (A) = - 1$

Etapa 2.3.2.3

Divida cada termo em

$- 2 \sin^{2} (A) = - 1$ por

$- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.1

Divida cada termo em

$- 2 \sin^{2} (A) = - 1$ por

$- 2$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (A)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 2.3.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.2.1

Cancele o fator comum de

$- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sin^{2} (A)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 2.3.2.3.2.1.2

Divida

$\sin^{2} (A)$ por

$1$ .

$\sin^{2} (A) = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 2.3.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\sin^{2} (A) = \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (A) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.5.1

Reescreva

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ como

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.3.2.5.2

Qualquer raiz de

$1$ é

$1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.3.2.5.3

Multiplique

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ por

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.3.2.5.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.5.4.1

Multiplique

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ por

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 2.3.2.5.4.2

Eleve

$\sqrt{2}$ à potência de

$1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 2.3.2.5.4.3

Eleve

$\sqrt{2}$ à potência de

$1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 2.3.2.5.4.4

Use a regra da multiplicação de potências

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.3.2.5.4.5

Some

$1$ e

$1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 2.3.2.5.4.6

Reescreva

${\sqrt{2}}^{2}$ como

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.5.4.6.1

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{2}$ como

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3.2.5.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.2.5.4.6.3

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.3.2.5.4.6.4

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.5.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.3.2.5.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 2.3.2.5.4.6.5

Avalie o expoente.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.3.2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de

$\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.3.2.6.2

Depois, use o valor negativo de

$\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.3.2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.3.2.7

Estabeleça cada uma das soluções para resolver

$A$ .

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.3.2.8

Resolva

$A$ em

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.8.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair

$A$ de dentro do seno.

$A = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 2.3.2.8.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.8.2.1

O valor exato de

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ é

$45$ .

$A = 45$

Etapa 2.3.2.8.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de

$180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$A = 180 - 45$

Etapa 2.3.2.8.4

Subtraia

$45$ de

$180$ .

$A = 135$

Etapa 2.3.2.8.5

Encontre o período de

$\sin (A)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.8.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar

$\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 2.3.2.8.5.2

Substitua

$b$ por

$1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 2.3.2.8.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre

$0$ e

$1$ é

$1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 2.3.2.8.5.4

Divida

$360$ por

$1$ .

$360$

Etapa 2.3.2.8.6

O período da função

$\sin (A)$ é

$360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada

$360$ graus nas duas direções.

$A = 45 + 360 n, 135 + 360 n$ , para qualquer número inteiro

$n$

$A = 45 + 360 n, 135 + 360 n$ , para qualquer número inteiro

$n$

Etapa 2.3.2.9

Resolva

$A$ em

$\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.9.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair

$A$ de dentro do seno.

$A = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 2.3.2.9.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.9.2.1

O valor exato de

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ é

$- 45$ .

$A = - 45$

Etapa 2.3.2.9.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de

$360$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com

$180$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$A = 360 + 45 + 180$

Etapa 2.3.2.9.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.9.4.1

Subtraia

$360 °$ de

$360 + 45 + 180 °$ .

$A = 360 + 45 + 180 ° - 360 °$

Etapa 2.3.2.9.4.2

O ângulo resultante de

$225 °$ é positivo, menor do que

$360 °$ e coterminal com

$360 + 45 + 180$ .

$A = 225 °$

Etapa 2.3.2.9.5

Encontre o período de

$\sin (A)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.9.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar

$\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 2.3.2.9.5.2

Substitua

$b$ por

$1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 2.3.2.9.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre

$0$ e

$1$ é

$1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 2.3.2.9.5.4

Divida

$360$ por

$1$ .

$360$

Etapa 2.3.2.9.6

Some

$360$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.9.6.1

Some

$360$ com

$- 45$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 45 + 360$

Etapa 2.3.2.9.6.2

Subtraia

$45$ de

$360$ .

$315$

Etapa 2.3.2.9.6.3

Liste os novos ângulos.

$A = 315$

Etapa 2.3.2.9.7

O período da função

$\sin (A)$ é

$360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada

$360$ graus nas duas direções.

$A = 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , para qualquer número inteiro

$n$

$A = 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , para qualquer número inteiro

$n$

Etapa 2.3.2.10

Liste todas as soluções.

$A = 45 + 360 n, 135 + 360 n, 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , para qualquer número inteiro

$n$

Etapa 2.3.2.11

Consolide as respostas.

$A = 45 + 90 n$ , para qualquer número inteiro

$n$

$A = 45 + 90 n$ , para qualquer número inteiro

$n$

$A = 45 + 90 n$ , para qualquer número inteiro

$n$

Etapa 2.4

A solução final são todos os valores que tornam

$\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)) = 0$ verdadeiro.

$A = 180 n, 90 + 180 n, 45 + 90 n$ , para qualquer número inteiro

$n$

Etapa 2.5

Consolide as respostas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Consolide

$180 n$ e

$90 + 180 n$ em

$90 n$ .

$A = 90 n, 45 + 90 n$ , para qualquer número inteiro

$n$

Etapa 2.5.2

Consolide as respostas.

$A = 45 n$ , para qualquer número inteiro

$n$

$A = 45 n$ , para qualquer número inteiro

$n$

$A = 45 n$ , para qualquer número inteiro

$n$

Etapa 3

O domínio consiste em todos os valores de

$A$ que tornam a expressão definida.

Notação de construtor de conjuntos:

${A | A \neq 45 n}$ , para qualquer número inteiro

$n$

Etapa 4