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Matemática discreta Exemplos
4sin(A)⋅cos(A)⋅cos(2A)⋅sin(15)sin(2A)(tan(225)-2sin2(A))4sin(A)⋅cos(A)⋅cos(2A)⋅sin(15)sin(2A)(tan(225)−2sin2(A))
Etapa 1
Defina o denominador em 4sin(A)⋅cos(A)⋅cos(2A)⋅sin(15)sin(2A)(tan(225)-2sin2(A))4sin(A)⋅cos(A)⋅cos(2A)⋅sin(15)sin(2A)(tan(225)−2sin2(A)) como igual a 00 para encontrar onde a expressão está indefinida.
sin(2A)(tan(225)-2sin2(A))=0sin(2A)(tan(225)−2sin2(A))=0
Etapa 2
Etapa 2.1
Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a 00, toda a expressão será igual a 00.
sin(2A)=0sin(2A)=0
tan(225)-2sin2(A)=0tan(225)−2sin2(A)=0
Etapa 2.2
Defina sin(2A)sin(2A) como igual a 00 e resolva para AA.
Etapa 2.2.1
Defina sin(2A)sin(2A) como igual a 00.
sin(2A)=0sin(2A)=0
Etapa 2.2.2
Resolva sin(2A)=0sin(2A)=0 para AA.
Etapa 2.2.2.1
Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair AA de dentro do seno.
2A=arcsin(0)2A=arcsin(0)
Etapa 2.2.2.2
Simplifique o lado direito.
Etapa 2.2.2.2.1
O valor exato de arcsin(0)arcsin(0) é 00.
2A=02A=0
2A=02A=0
Etapa 2.2.2.3
Divida cada termo em 2A=02A=0 por 22 e simplifique.
Etapa 2.2.2.3.1
Divida cada termo em 2A=02A=0 por 22.
2A2=022A2=02
Etapa 2.2.2.3.2
Simplifique o lado esquerdo.
Etapa 2.2.2.3.2.1
Cancele o fator comum de 22.
Etapa 2.2.2.3.2.1.1
Cancele o fator comum.
2A2=02
Etapa 2.2.2.3.2.1.2
Divida A por 1.
A=02
A=02
A=02
Etapa 2.2.2.3.3
Simplifique o lado direito.
Etapa 2.2.2.3.3.1
Divida 0 por 2.
A=0
A=0
A=0
Etapa 2.2.2.4
A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de 180 para determinar a solução no segundo quadrante.
2A=180-0
Etapa 2.2.2.5
Resolva A.
Etapa 2.2.2.5.1
Simplifique.
Etapa 2.2.2.5.1.1
Multiplique -1 por 0.
2A=180+0
Etapa 2.2.2.5.1.2
Some 180 e 0.
2A=180
2A=180
Etapa 2.2.2.5.2
Divida cada termo em 2A=180 por 2 e simplifique.
Etapa 2.2.2.5.2.1
Divida cada termo em 2A=180 por 2.
2A2=1802
Etapa 2.2.2.5.2.2
Simplifique o lado esquerdo.
Etapa 2.2.2.5.2.2.1
Cancele o fator comum de 2.
Etapa 2.2.2.5.2.2.1.1
Cancele o fator comum.
2A2=1802
Etapa 2.2.2.5.2.2.1.2
Divida A por 1.
A=1802
A=1802
A=1802
Etapa 2.2.2.5.2.3
Simplifique o lado direito.
Etapa 2.2.2.5.2.3.1
Divida 180 por 2.
A=90
A=90
A=90
A=90
Etapa 2.2.2.6
Encontre o período de sin(2A).
Etapa 2.2.2.6.1
O período da função pode ser calculado ao usar 360|b|.
360|b|
Etapa 2.2.2.6.2
Substitua b por 2 na fórmula do período.
360|2|
Etapa 2.2.2.6.3
O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre 0 e 2 é 2.
3602
Etapa 2.2.2.6.4
Divida 360 por 2.
180
180
Etapa 2.2.2.7
O período da função sin(2A) é 180. Portanto, os valores se repetirão a cada 180 graus nas duas direções.
A=180n,90+180n, para qualquer número inteiro n
A=180n,90+180n, para qualquer número inteiro n
A=180n,90+180n, para qualquer número inteiro n
Etapa 2.3
Defina tan(225)-2sin2(A) como igual a 0 e resolva para A.
Etapa 2.3.1
Defina tan(225)-2sin2(A) como igual a 0.
tan(225)-2sin2(A)=0
Etapa 2.3.2
Resolva tan(225)-2sin2(A)=0 para A.
Etapa 2.3.2.1
Simplifique o lado esquerdo.
Etapa 2.3.2.1.1
Simplifique cada termo.
Etapa 2.3.2.1.1.1
Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.
tan(45)-2sin2(A)=0
Etapa 2.3.2.1.1.2
O valor exato de tan(45) é 1.
1-2sin2(A)=0
1-2sin2(A)=0
1-2sin2(A)=0
Etapa 2.3.2.2
Subtraia 1 dos dois lados da equação.
-2sin2(A)=-1
Etapa 2.3.2.3
Divida cada termo em -2sin2(A)=-1 por -2 e simplifique.
Etapa 2.3.2.3.1
Divida cada termo em -2sin2(A)=-1 por -2.
-2sin2(A)-2=-1-2
Etapa 2.3.2.3.2
Simplifique o lado esquerdo.
Etapa 2.3.2.3.2.1
Cancele o fator comum de -2.
Etapa 2.3.2.3.2.1.1
Cancele o fator comum.
-2sin2(A)-2=-1-2
Etapa 2.3.2.3.2.1.2
Divida sin2(A) por 1.
sin2(A)=-1-2
sin2(A)=-1-2
sin2(A)=-1-2
Etapa 2.3.2.3.3
Simplifique o lado direito.
Etapa 2.3.2.3.3.1
Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.
sin2(A)=12
sin2(A)=12
sin2(A)=12
Etapa 2.3.2.4
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
sin(A)=±√12
Etapa 2.3.2.5
Simplifique ±√12.
Etapa 2.3.2.5.1
Reescreva √12 como √1√2.
sin(A)=±√1√2
Etapa 2.3.2.5.2
Qualquer raiz de 1 é 1.
sin(A)=±1√2
Etapa 2.3.2.5.3
Multiplique 1√2 por √2√2.
sin(A)=±1√2⋅√2√2
Etapa 2.3.2.5.4
Combine e simplifique o denominador.
Etapa 2.3.2.5.4.1
Multiplique 1√2 por √2√2.
sin(A)=±√2√2√2
Etapa 2.3.2.5.4.2
Eleve √2 à potência de 1.
sin(A)=±√2√21√2
Etapa 2.3.2.5.4.3
Eleve √2 à potência de 1.
sin(A)=±√2√21√21
Etapa 2.3.2.5.4.4
Use a regra da multiplicação de potências aman=am+n para combinar expoentes.
sin(A)=±√2√21+1
Etapa 2.3.2.5.4.5
Some 1 e 1.
sin(A)=±√2√22
Etapa 2.3.2.5.4.6
Reescreva √22 como 2.
Etapa 2.3.2.5.4.6.1
Use n√ax=axn para reescrever √2 como 212.
sin(A)=±√2(212)2
Etapa 2.3.2.5.4.6.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, (am)n=amn.
sin(A)=±√2212⋅2
Etapa 2.3.2.5.4.6.3
Combine 12 e 2.
sin(A)=±√2222
Etapa 2.3.2.5.4.6.4
Cancele o fator comum de 2.
Etapa 2.3.2.5.4.6.4.1
Cancele o fator comum.
sin(A)=±√2222
Etapa 2.3.2.5.4.6.4.2
Reescreva a expressão.
sin(A)=±√221
sin(A)=±√221
Etapa 2.3.2.5.4.6.5
Avalie o expoente.
sin(A)=±√22
sin(A)=±√22
sin(A)=±√22
sin(A)=±√22
Etapa 2.3.2.6
A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.
Etapa 2.3.2.6.1
Primeiro, use o valor positivo de ± para encontrar a primeira solução.
sin(A)=√22
Etapa 2.3.2.6.2
Depois, use o valor negativo de ± para encontrar a segunda solução.
sin(A)=-√22
Etapa 2.3.2.6.3
A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.
sin(A)=√22,-√22
sin(A)=√22,-√22
Etapa 2.3.2.7
Estabeleça cada uma das soluções para resolver A.
sin(A)=√22
sin(A)=-√22
Etapa 2.3.2.8
Resolva A em sin(A)=√22.
Etapa 2.3.2.8.1
Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair A de dentro do seno.
A=arcsin(√22)
Etapa 2.3.2.8.2
Simplifique o lado direito.
Etapa 2.3.2.8.2.1
O valor exato de arcsin(√22) é 45.
A=45
A=45
Etapa 2.3.2.8.3
A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de 180 para determinar a solução no segundo quadrante.
A=180-45
Etapa 2.3.2.8.4
Subtraia 45 de 180.
A=135
Etapa 2.3.2.8.5
Encontre o período de sin(A).
Etapa 2.3.2.8.5.1
O período da função pode ser calculado ao usar 360|b|.
360|b|
Etapa 2.3.2.8.5.2
Substitua b por 1 na fórmula do período.
360|1|
Etapa 2.3.2.8.5.3
O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre 0 e 1 é 1.
3601
Etapa 2.3.2.8.5.4
Divida 360 por 1.
360
360
Etapa 2.3.2.8.6
O período da função sin(A) é 360. Portanto, os valores se repetirão a cada 360 graus nas duas direções.
A=45+360n,135+360n, para qualquer número inteiro n
A=45+360n,135+360n, para qualquer número inteiro n
Etapa 2.3.2.9
Resolva A em sin(A)=-√22.
Etapa 2.3.2.9.1
Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair A de dentro do seno.
A=arcsin(-√22)
Etapa 2.3.2.9.2
Simplifique o lado direito.
Etapa 2.3.2.9.2.1
O valor exato de arcsin(-√22) é -45.
A=-45
A=-45
Etapa 2.3.2.9.3
A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de 360 para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com 180 para encontrar a solução no terceiro quadrante.
A=360+45+180
Etapa 2.3.2.9.4
Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.
Etapa 2.3.2.9.4.1
Subtraia 360° de 360+45+180°.
A=360+45+180°-360°
Etapa 2.3.2.9.4.2
O ângulo resultante de 225° é positivo, menor do que 360° e coterminal com 360+45+180.
A=225°
A=225°
Etapa 2.3.2.9.5
Encontre o período de sin(A).
Etapa 2.3.2.9.5.1
O período da função pode ser calculado ao usar 360|b|.
360|b|
Etapa 2.3.2.9.5.2
Substitua b por 1 na fórmula do período.
360|1|
Etapa 2.3.2.9.5.3
O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre 0 e 1 é 1.
3601
Etapa 2.3.2.9.5.4
Divida 360 por 1.
360
360
Etapa 2.3.2.9.6
Some 360 com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.
Etapa 2.3.2.9.6.1
Some 360 com -45 para encontrar o ângulo positivo.
-45+360
Etapa 2.3.2.9.6.2
Subtraia 45 de 360.
315
Etapa 2.3.2.9.6.3
Liste os novos ângulos.
A=315
A=315
Etapa 2.3.2.9.7
O período da função sin(A) é 360. Portanto, os valores se repetirão a cada 360 graus nas duas direções.
A=225+360n,315+360n, para qualquer número inteiro n
A=225+360n,315+360n, para qualquer número inteiro n
Etapa 2.3.2.10
Liste todas as soluções.
A=45+360n,135+360n,225+360n,315+360n, para qualquer número inteiro n
Etapa 2.3.2.11
Consolide as respostas.
A=45+90n, para qualquer número inteiro n
A=45+90n, para qualquer número inteiro n
A=45+90n, para qualquer número inteiro n
Etapa 2.4
A solução final são todos os valores que tornam sin(2A)(tan(225)-2sin2(A))=0 verdadeiro.
A=180n,90+180n,45+90n, para qualquer número inteiro n
Etapa 2.5
Consolide as respostas.
Etapa 2.5.1
Consolide 180n e 90+180n em 90n.
A=90n,45+90n, para qualquer número inteiro n
Etapa 2.5.2
Consolide as respostas.
A=45n, para qualquer número inteiro n
A=45n, para qualquer número inteiro n
A=45n, para qualquer número inteiro n
Etapa 3
O domínio consiste em todos os valores de A que tornam a expressão definida.
Notação de construtor de conjuntos:
{A|A≠45n}, para qualquer número inteiro n
Etapa 4