Matemática discreta Exemplos

$\frac{4 \sin (A) \cdot \cos (A) \cdot \cos (2 A) \cdot \sin (15)}{\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A))}$

Etapa 1

Defina o denominador em $\frac{4 \sin (A) \cdot \cos (A) \cdot \cos (2 A) \cdot \sin (15)}{\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A))}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)) = 0$

Etapa 2

Resolva $A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (2 A) = 0$

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Etapa 2.2

Defina $\sin (2 A)$ como igual a $0$ e resolva para $A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Defina $\sin (2 A)$ como igual a $0$ .

$\sin (2 A) = 0$

Etapa 2.2.2

Resolva $\sin (2 A) = 0$ para $A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $A$ de dentro do seno.

$2 A = \arcsin (0)$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$2 A = 0$

Etapa 2.2.2.3

Divida cada termo em $2 A = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.1

Divida cada termo em $2 A = 0$ por $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 A}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2.2.3.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$A = 0$

Etapa 2.2.2.4

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$2 A = 180 - 0$

Etapa 2.2.2.5

Resolva $A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.5.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 A = 180 + 0$

Etapa 2.2.2.5.1.2

Some $180$ e $0$ .

$2 A = 180$

Etapa 2.2.2.5.2

Divida cada termo em $2 A = 180$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.5.2.1

Divida cada termo em $2 A = 180$ por $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{180}{2}$

Etapa 2.2.2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 A}{2} = \frac{180}{2}$

Etapa 2.2.2.5.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{180}{2}$

Etapa 2.2.2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.5.2.3.1

Divida $180$ por $2$ .

$A = 90$

Etapa 2.2.2.6

Encontre o período de $\sin (2 A)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 2.2.2.6.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 2 |}$

Etapa 2.2.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{360}{2}$

Etapa 2.2.2.6.4

Divida $360$ por $2$ .

$180$

Etapa 2.2.2.7

O período da função $\sin (2 A)$ é $180$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $180$ graus nas duas direções.

$A = 180 n, 90 + 180 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.3

Defina $\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)$ como igual a $0$ e resolva para $A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Defina $\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)$ como igual a $0$ .

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$ para $A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\tan (45) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Etapa 2.3.2.1.1.2

O valor exato de $\tan (45)$ é $1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Etapa 2.3.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sin^{2} (A) = - 1$

Etapa 2.3.2.3

Divida cada termo em $- 2 \sin^{2} (A) = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.1

Divida cada termo em $- 2 \sin^{2} (A) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (A)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 2.3.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sin^{2} (A)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 2.3.2.3.2.1.2

Divida $\sin^{2} (A)$ por $1$ .

$\sin^{2} (A) = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 2.3.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\sin^{2} (A) = \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (A) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.5.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.3.2.5.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.3.2.5.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.3.2.5.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.5.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 2.3.2.5.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 2.3.2.5.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 2.3.2.5.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.3.2.5.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 2.3.2.5.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.5.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3.2.5.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.2.5.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.3.2.5.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.5.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.3.2.5.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 2.3.2.5.4.6.5

Avalie o expoente.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.3.2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.3.2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.3.2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.3.2.7

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $A$ .

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.3.2.8

Resolva $A$ em $\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.8.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $A$ de dentro do seno.

$A = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 2.3.2.8.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.8.2.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ é $45$ .

$A = 45$

Etapa 2.3.2.8.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$A = 180 - 45$

Etapa 2.3.2.8.4

Subtraia $45$ de $180$ .

$A = 135$

Etapa 2.3.2.8.5

Encontre o período de $\sin (A)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.8.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 2.3.2.8.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 2.3.2.8.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 2.3.2.8.5.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 2.3.2.8.6

O período da função $\sin (A)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$A = 45 + 360 n, 135 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.3.2.9

Resolva $A$ em $\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.9.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $A$ de dentro do seno.

$A = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 2.3.2.9.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.9.2.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ é $- 45$ .

$A = - 45$

Etapa 2.3.2.9.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $360$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $180$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$A = 360 + 45 + 180$

Etapa 2.3.2.9.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.9.4.1

Subtraia $360 °$ de $360 + 45 + 180 °$ .

$A = 360 + 45 + 180 ° - 360 °$

Etapa 2.3.2.9.4.2

O ângulo resultante de $225 °$ é positivo, menor do que $360 °$ e coterminal com $360 + 45 + 180$ .

$A = 225 °$

Etapa 2.3.2.9.5

Encontre o período de $\sin (A)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.9.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Etapa 2.3.2.9.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{360}{| 1 |}$

Etapa 2.3.2.9.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{360}{1}$

Etapa 2.3.2.9.5.4

Divida $360$ por $1$ .

$360$

Etapa 2.3.2.9.6

Some $360$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.9.6.1

Some $360$ com $- 45$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 45 + 360$

Etapa 2.3.2.9.6.2

Subtraia $45$ de $360$ .

$315$

Etapa 2.3.2.9.6.3

Liste os novos ângulos.

$A = 315$

Etapa 2.3.2.9.7

O período da função $\sin (A)$ é $360$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $360$ graus nas duas direções.

$A = 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.3.2.10

Liste todas as soluções.

$A = 45 + 360 n, 135 + 360 n, 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.3.2.11

Consolide as respostas.

$A = 45 + 90 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.4

A solução final são todos os valores que tornam $\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)) = 0$ verdadeiro.

$A = 180 n, 90 + 180 n, 45 + 90 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.5

Consolide as respostas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Consolide $180 n$ e $90 + 180 n$ em $90 n$ .

$A = 90 n, 45 + 90 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.5.2

Consolide as respostas.

$A = 45 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

O domínio consiste em todos os valores de $A$ que tornam a expressão definida.

Notação de construtor de conjuntos:

${A | A \neq 45 n}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4