Matemática discreta Exemplos

$\frac{1}{3} \cdot (2 \log (x - 1) - \log (x - 4) - \log (x^{2} - x) - 3 \log (x + 3))$

Etapa 1

Defina o argumento em $\log (x - 1)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x - 1 > 0$

Etapa 2

Some $1$ aos dois lados da desigualdade.

$x > 1$

Etapa 3

Defina o argumento em $\log (x - 4)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x - 4 > 0$

Etapa 4

Some $4$ aos dois lados da desigualdade.

$x > 4$

Etapa 5

Defina o argumento em $\log (x^{2} - x)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{2} - x > 0$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} - x = 0$

Etapa 6.2

Fatore $x$ de $x^{2} - x$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - x = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore $x$ de $- x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

Etapa 6.2.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$x (x - 1) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 6.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 6.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 1$

Etapa 6.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 6.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 6.8.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 6.8.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

${(- 2)}^{2} - (- 2) > 0$

Etapa 6.8.1.3

O lado esquerdo $6$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 6.8.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.5$

Etapa 6.8.2.2

Substitua $x$ por $0.5$ na desigualdade original.

${(0.5)}^{2} - (0.5) > 0$

Etapa 6.8.2.3

O lado esquerdo $- 0.25$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.8.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 6.8.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

${(4)}^{2} - (4) > 0$

Etapa 6.8.3.3

O lado esquerdo $12$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 6.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

Etapa 6.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < 0$ ou $x > 1$

Etapa 7

Defina o argumento em $\log (x + 3)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x + 3 > 0$

Etapa 8

Subtraia $3$ dos dois lados da desigualdade.

$x > - 3$

Etapa 9

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(4, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 4}$

Etapa 10