Matemática discreta Exemplos

$\frac{z^{2} + 13 z + 36}{z^{3} + 3 z^{2} - 54 z}$

Etapa 1

Defina o denominador em $\frac{z^{2} + 13 z + 36}{z^{3} + 3 z^{2} - 54 z}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$z^{3} + 3 z^{2} - 54 z = 0$

Etapa 2

Resolva $z$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Fatore $z$ de $z^{3} + 3 z^{2} - 54 z$ .

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Etapa 2.1.1.1

Fatore $z$ de $z^{3}$ .

$z \cdot z^{2} + 3 z^{2} - 54 z = 0$

Etapa 2.1.1.2

Fatore $z$ de $3 z^{2}$ .

$z \cdot z^{2} + z (3 z) - 54 z = 0$

Etapa 2.1.1.3

Fatore $z$ de $- 54 z$ .

$z \cdot z^{2} + z (3 z) + z \cdot - 54 = 0$

Etapa 2.1.1.4

Fatore $z$ de $z \cdot z^{2} + z (3 z)$ .

$z (z^{2} + 3 z) + z \cdot - 54 = 0$

Etapa 2.1.1.5

Fatore $z$ de $z (z^{2} + 3 z) + z \cdot - 54$ .

$z (z^{2} + 3 z - 54) = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore.

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Etapa 2.1.2.1

Fatore $z^{2} + 3 z - 54$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 54$ e cuja soma é $3$ .

$- 6, 9$

Etapa 2.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$z ((z - 6) (z + 9)) = 0$

Etapa 2.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$z (z - 6) (z + 9) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$z = 0$

$z - 6 = 0$

$z + 9 = 0$

Etapa 2.3

Defina $z$ como igual a $0$ .

$z = 0$

Etapa 2.4

Defina $z - 6$ como igual a $0$ e resolva para $z$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $z - 6$ como igual a $0$ .

$z - 6 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$z = 6$

Etapa 2.5

Defina $z + 9$ como igual a $0$ e resolva para $z$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $z + 9$ como igual a $0$ .

$z + 9 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$z = - 9$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $z (z - 6) (z + 9) = 0$ verdadeiro.

$z = 0, 6, - 9$

Etapa 3

O domínio consiste em todos os valores de $z$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${z | z \neq 0, 6, - 9}$

Etapa 4