Matemática discreta Exemplos

$\frac{\log_{8} (x^{2})}{\log_{2} (x)}$

Etapa 1

Defina o argumento em $\log_{8} (x^{2})$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{2} > 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{0}$

Etapa 2.2

Simplifique a equação.

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Etapa 2.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | > \sqrt{0}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.2.1

Simplifique $\sqrt{0}$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$| x | > \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.2.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | > | 0 |$

Etapa 2.2.2.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $0$ é $0$ .

$| x | > 0$

Etapa 2.3

Escreva $| x | > 0$ em partes.

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Etapa 2.3.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 2.3.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x > 0$

Etapa 2.3.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 2.3.4

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x > 0$

Etapa 2.3.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} x > 0 & x \geq 0 \\ - x > 0 & x < 0 \end{cases}$

Etapa 2.4

Encontre a intersecção de $x > 0$ e $x \geq 0$ .

$x > 0$

Etapa 2.5

Divida cada termo em $- x > 0$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.5.1

Divida cada termo em $- x > 0$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{0}{- 1}$

Etapa 2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{0}{- 1}$

Etapa 2.5.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x < \frac{0}{- 1}$

Etapa 2.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

$x < 0$

Etapa 2.6

Encontre a união das soluções.

$x < 0$ ou $x > 0$

Etapa 3

Defina o argumento em $\log_{2} (x)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x > 0$

Etapa 4

Defina o denominador em $\frac{\log_{8} (x^{2})}{\log_{2} (x)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\log_{2} (x) = 0$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Reescreva $\log_{2} (x) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{0} = x$

Etapa 5.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.2.1

Reescreva a equação como $x = 2^{0}$ .

$x = 2^{0}$

Etapa 5.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x = 1$

Etapa 6

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(0, 1) \cup (1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0, x \neq 1}$

Etapa 7