Matemática discreta Exemplos

$\ln (\frac{5 + x}{3 - x})$

Etapa 1

Defina o argumento em $\ln (\frac{5 + x}{3 - x})$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{5 + x}{3 - x} > 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$5 + x = 0$

$3 - x = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 2.3

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- x = - 3$

Etapa 2.4

Divida cada termo em $- x = - 3$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Divida cada termo em $- x = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 2.4.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 2.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$x = 3$

Etapa 2.5

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - 5$

$x = 3$

Etapa 2.6

Consolide as soluções.

$x = - 5, 3$

Etapa 2.7

Encontre o domínio de $\frac{5 + x}{3 - x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Defina o denominador em $\frac{5 + x}{3 - x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 - x = 0$

Etapa 2.7.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- x = - 3$

Etapa 2.7.2.2

Divida cada termo em $- x = - 3$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 2.7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 2.7.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 2.7.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.3.1

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$x = 3$

Etapa 2.7.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 2.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 5$

$- 5 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 2.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 2.9.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$\frac{5 - 8}{3 - (- 8)} > 0$

Etapa 2.9.1.3

O lado esquerdo $- 0.\overline{27}$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.9.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 2.9.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{5 + 0}{3 - (0)} > 0$

Etapa 2.9.2.3

O lado esquerdo $1.\overline{6}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.9.3

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 2.9.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{5 + 6}{3 - (6)} > 0$

Etapa 2.9.3.3

O lado esquerdo $- 3.\overline{6}$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

Etapa 2.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 5 < x < 3$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{5 + x}{3 - x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 - x = 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- x = - 3$

Etapa 4.2

Divida cada termo em $- x = - 3$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Divida cada termo em $- x = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 4.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$x = 3$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- 5, 3)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 5 < x < 3}$

Etapa 6