Matemática discreta Exemplos

$\ln (\frac{x^{2} - 1}{x} - 1) - x$

Etapa 1

Defina o argumento em $\ln (\frac{x^{2} - 1}{x} - 1)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{x^{2} - 1}{x} - 1 > 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Simplifique $\frac{x^{2} - 1}{x} - 1$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x} - 1 > 0$

Etapa 2.1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} - 1 > 0$

Etapa 2.1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x} > 0$

Etapa 2.1.3

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1.3.1

Combine $- 1$ e $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} + \frac{- x}{x} > 0$

Etapa 2.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x + 1) (x - 1) - x}{x} > 0$

Etapa 2.1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.4.1

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1) - x}{x} > 0$

Etapa 2.1.4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - x}{x} > 0$

Etapa 2.1.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Etapa 2.1.4.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.4.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Etapa 2.1.4.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Etapa 2.1.4.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Etapa 2.1.4.2.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Etapa 2.1.4.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - x + x - 1 - x}{x} > 0$

Etapa 2.1.4.2.2

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1 - x}{x} > 0$

Etapa 2.1.4.2.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - 1 - x}{x} > 0$

Etapa 2.1.4.3

Reordene os termos.

$\frac{x^{2} - x - 1}{x} > 0$

Etapa 2.2

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x = 0$

$x^{2} - x - 1 = 0$

Etapa 2.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 1$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.3

Some $1$ e $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 2.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 2.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.1.3

Some $1$ e $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Etapa 2.6.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Etapa 2.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 2.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 2.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.1.3

Some $1$ e $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Etapa 2.7.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 2.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 2.9

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 2.10

Consolide as soluções.

$x = 0, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 2.11

Encontre o domínio de $\frac{x^{2} - 1}{x} - 1$ .

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Etapa 2.11.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} - 1}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 2.11.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 2.12

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Etapa 2.13

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.13.1

Teste um valor no intervalo $x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.13.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 2.13.1.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 3)}^{2} - 1}{- 3} - 1 > 0$

Etapa 2.13.1.3

O lado esquerdo $- 3.\overline{6}$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.13.2

Teste um valor no intervalo $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.13.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 0.31$

Etapa 2.13.2.2

Substitua $x$ por $- 0.31$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 0.31)}^{2} - 1}{- 0.31} - 1 > 0$

Etapa 2.13.2.3

O lado esquerdo $1.91580645$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.13.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.13.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1$

Etapa 2.13.3.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

$\frac{{(1)}^{2} - 1}{1} - 1 > 0$

Etapa 2.13.3.3

O lado esquerdo $- 1$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.13.4

Teste um valor no intervalo $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.13.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 2.13.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{4} - 1 > 0$

Etapa 2.13.4.3

O lado esquerdo $2.75$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.13.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ Falso

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Falso

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Verdadeiro

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ Falso

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Falso

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Verdadeiro

Etapa 2.14

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ ou $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{x^{2} - 1}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 4

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | \frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0, x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$

Etapa 5