Matemática discreta Exemplos

$2 p - 2 \sqrt{4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48 \geq 0$

Etapa 2

Resolva $p$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $4$ de $4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $4$ de $4 p^{3}$ .

$4 (p^{3}) + 16 p^{2} + 28 p - 48 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $4$ de $16 p^{2}$ .

$4 (p^{3}) + 4 (4 p^{2}) + 28 p - 48 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $4$ de $28 p$ .

$4 (p^{3}) + 4 (4 p^{2}) + 4 (7 p) - 48 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $4$ de $- 48$ .

$4 p^{3} + 4 (4 p^{2}) + 4 (7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $4$ de $4 p^{3} + 4 (4 p^{2})$ .

$4 (p^{3} + 4 p^{2}) + 4 (7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

Etapa 2.2.1.6

Fatore $4$ de $4 (p^{3} + 4 p^{2}) + 4 (7 p)$ .

$4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

Etapa 2.2.1.7

Fatore $4$ de $4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p) + 4 \cdot - 12$ .

$4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Etapa 2.2.2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Etapa 2.2.2.1.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 12$

Etapa 2.2.2.1.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 12$

Etapa 2.2.2.1.3.3

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$1 + 4 \cdot 1 + 7 \cdot 1 - 12$

Etapa 2.2.2.1.3.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$1 + 4 + 7 \cdot 1 - 12$

Etapa 2.2.2.1.3.5

Some $1$ e $4$ .

$5 + 7 \cdot 1 - 12$

Etapa 2.2.2.1.3.6

Multiplique $7$ por $1$ .

$5 + 7 - 12$

Etapa 2.2.2.1.3.7

Some $5$ e $7$ .

$12 - 12$

Etapa 2.2.2.1.3.8

Subtraia $12$ de $12$ .

$0$

Etapa 2.2.2.1.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $p - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12}{p - 1}$

Etapa 2.2.2.1.5

Divida $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ por $p - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$p$

$1$

$p^{3}$

$4 p^{2}$

$7 p$

$12$

Etapa 2.2.2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $p^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $p$ .

					$p^{2}$
	$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$

Etapa 2.2.2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			+	$p^{3}$	-	$p^{2}$

Etapa 2.2.2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $p^{3} - p^{2}$ .

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$

Etapa 2.2.2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$

Etapa 2.2.2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$

Etapa 2.2.2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $5 p^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $p$ .

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$

Etapa 2.2.2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					+	$5 p^{2}$	-	$5 p$

Etapa 2.2.2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $5 p^{2} - 5 p$ .

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$

Etapa 2.2.2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$

Etapa 2.2.2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$

Etapa 2.2.2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $12 p$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $p$ .

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$

Etapa 2.2.2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							+	$12 p$	-	$12$

Etapa 2.2.2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $12 p - 12$ .

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							-	$12 p$	+	$12$

Etapa 2.2.2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							-	$12 p$	+	$12$
										$0$

Etapa 2.2.2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$p^{2} + 5 p + 12$

Etapa 2.2.2.1.6

Escreva $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ como um conjunto de fatores.

$4 ((p - 1) (p^{2} + 5 p + 12)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 (p - 1) (p^{2} + 5 p + 12) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$p - 1 = 0$

$p^{2} + 5 p + 12 = 0$

Etapa 2.4

Defina $p - 1$ como igual a $0$ e resolva para $p$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $p - 1$ como igual a $0$ .

$p - 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$p = 1$

Etapa 2.5

Defina $p^{2} + 5 p + 12$ como igual a $0$ e resolva para $p$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $p^{2} + 5 p + 12$ como igual a $0$ .

$p^{2} + 5 p + 12 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $p^{2} + 5 p + 12 = 0$ para $p$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.5.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 5$ e $c = 12$ na fórmula quadrática e resolva $p$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $12$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.3

Subtraia $48$ de $25$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.4

Reescreva $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (23)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Etapa 2.5.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $12$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.4.1.3

Subtraia $48$ de $25$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.4.1.4

Reescreva $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (23)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Etapa 2.5.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$p = \frac{- 5 + i \sqrt{23}}{2}$

Etapa 2.5.2.4.4

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 + i \sqrt{23}}{2}$

Etapa 2.5.2.4.5

Fatore $- 1$ de $i \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - (- i \sqrt{23})}{2}$

Etapa 2.5.2.4.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (5) - (- i \sqrt{23})$ .

$p = \frac{- 1 (5 - i \sqrt{23})}{2}$

Etapa 2.5.2.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$p = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}$

Etapa 2.5.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.5.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $12$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.5.1.3

Subtraia $48$ de $25$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.5.1.4

Reescreva $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (23)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Etapa 2.5.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$p = \frac{- 5 - i \sqrt{23}}{2}$

Etapa 2.5.2.5.4

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - i \sqrt{23}}{2}$

Etapa 2.5.2.5.5

Fatore $- 1$ de $- i \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - (i \sqrt{23})}{2}$

Etapa 2.5.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (5) - (i \sqrt{23})$ .

$p = \frac{- 1 (5 + i \sqrt{23})}{2}$

Etapa 2.5.2.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$p = - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Etapa 2.5.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$p = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $4 (p - 1) (p^{2} + 5 p + 12) = 0$ verdadeiro.

$p = 1, - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Etapa 2.7

Identifique o coeficiente de maior ordem.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

O termo de maior ordem em um polinômio é o termo com o grau mais alto.

$4 p^{3}$

Etapa 2.7.2

O coeficiente de maior ordem de um polinômio é o coeficiente do termo de maior ordem.

$4$

Etapa 2.8

Como não há intersecções reais com o eixo x e o coeficiente de maior ordem é positivo, a parábola abre para cima e $4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48$ é sempre maior do que $0$ .

Todos os números reais

Etapa 3

O domínio consiste em números reais apenas.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${p | p \in ℝ}$

Etapa 4