Matemática discreta Exemplos

$\frac{\frac{x - 4}{x^{2} - x}}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Etapa 1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{x - 4}{x^{2} - x} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Etapa 2

Fatore $x$ de $x^{2} - x$ .

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Etapa 2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x - 4}{x \cdot x - x} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Etapa 2.2

Fatore $x$ de $- x$ .

$\frac{x - 4}{x \cdot x + x \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Etapa 2.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Etapa 3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ e cuja soma é $b = 3$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 (x) + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Etapa 3.1.2

Reescreva $3$ como $1$ mais $2$

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + (1 + 2) x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 1 x + 2 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Etapa 3.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + x + 2 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Etapa 3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x^{2} + x) + 2 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Etapa 3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Etapa 3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x^{2} - 1^{2}}}$

Etapa 4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1

Para escrever $\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 5.2

Para escrever $- \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}}$

Etapa 5.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.3.1

Multiplique $\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}}$

Etapa 5.3.2

Multiplique $\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ por $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)} - \frac{2 x + 1}{(x + 1) (x - 1) (2 x + 1)}}$

Etapa 5.3.3

Reordene os fatores de $(x + 1) (x - 1) (2 x + 1)$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)} - \frac{2 x + 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 5.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 1) (x - 1) - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 5.5

Reescreva $\frac{(x - 1) (x - 1) - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.5.1

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x (x - 1) - 1 (x - 1) - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 5.5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 5.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 5.5.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 5.5.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 5.5.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 5.5.2.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 5.5.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - x - x + 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 5.5.2.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 2 x + 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 5.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 2 x + 1 - (2 x) - 1 \cdot 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 5.5.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 2 x + 1 - 2 x - 1 \cdot 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 5.5.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 2 x + 1 - 2 x - 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 5.5.6

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 4 x + 1 - 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 5.5.7

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 4 x + 0}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 5.5.8

Some $x^{2} - 4 x$ e $0$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 4 x}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 5.5.9

Fatore $x$ de $x^{2} - 4 x$ .

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Etapa 5.5.9.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x \cdot x - 4 x}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 5.5.9.2

Fatore $x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x \cdot x + x \cdot - 4}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 5.5.9.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x (x - 4)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} (1 \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x (x - 4)})$

Etapa 7

Multiplique $\frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x (x - 4)}$ por $1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x (x - 4)}$

Etapa 8

Cancele o fator comum de $x - 4$ .

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Etapa 8.1

Fatore $x - 4$ de $x (x - 4)$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{(x - 4) x}$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{(x - 4) x}$

Etapa 8.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x (x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x}$

Etapa 9

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 9.1

Fatore $x - 1$ de $x (x - 1)$ .

$\frac{1}{(x - 1) x} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x}$

Etapa 9.2

Fatore $x - 1$ de $(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{(x - 1) x} \cdot \frac{(x - 1) ((2 x + 1) (x + 1))}{x}$

Etapa 9.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(x - 1) x} \cdot \frac{(x - 1) ((2 x + 1) (x + 1))}{x}$

Etapa 9.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x}$

Etapa 10

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x}$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x \cdot x}$

Etapa 11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{1} x}$

Etapa 12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{1} x^{1}}$

Etapa 13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{1 + 1}}$

Etapa 14

Some $1$ e $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{2}}$