Matemática discreta Exemplos

$\frac{3 \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3}$

Etapa 1

Multiplique $\frac{3 \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3}$ por $\frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 3}$ .

$\frac{3 \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3} \cdot \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 3}$

Etapa 2

Combine frações.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{3 \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3}$ por $\frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 3}$ .

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)}$

Etapa 2.2

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{{\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot - 3 + 3 \sqrt{x} - 9}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 9}$

Etapa 2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 9}$

Etapa 2.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{x^{\frac{2}{2}} - 9}$

Etapa 2.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{x^{\frac{2}{2}} - 9}$

Etapa 2.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{x^{1} - 9}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{x - 9}$

Etapa 3

Expanda $(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 \sqrt{x} (\sqrt{x} - 3) + 2 (\sqrt{x} - 3)}{x - 9}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 (\sqrt{x} - 3)}{x - 9}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Etapa 4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $3 \sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Etapa 4.1.1.1

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}) + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Etapa 4.1.1.2

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}) + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Etapa 4.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 {\sqrt{x}}^{1 + 1} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Etapa 4.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 {\sqrt{x}}^{2} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Etapa 4.1.2

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Etapa 4.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Etapa 4.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Etapa 4.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{2}{2}} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Etapa 4.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{\frac{2}{2}} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Etapa 4.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x^{1} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Etapa 4.1.2.5

Simplifique.

$\frac{3 x + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$\frac{3 x - 9 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Etapa 4.1.4

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{3 x - 9 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} - 6}{x - 9}$

Etapa 4.2

Some $- 9 \sqrt{x}$ e $2 \sqrt{x}$ .

$\frac{3 x - 7 \sqrt{x} - 6}{x - 9}$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x - 7 x^{\frac{1}{2}} - 6}{x - 9}$

Etapa 5.2

Reescreva $x$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 7 x^{\frac{1}{2}} - 6}{x - 9}$

Etapa 5.3

Deixe $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 u^{2} - 7 u - 6}{x - 9}$

Etapa 5.4

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 6 = - 18$ e cuja soma é $b = - 7$ .

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Etapa 5.4.1.1

Fatore $- 7$ de $- 7 u$ .

$\frac{3 u^{2} - 7 (u) - 6}{x - 9}$

Etapa 5.4.1.2

Reescreva $- 7$ como $2$ mais $- 9$

$\frac{3 u^{2} + (2 - 9) u - 6}{x - 9}$

Etapa 5.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 u^{2} + 2 u - 9 u - 6}{x - 9}$

Etapa 5.4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(3 u^{2} + 2 u) - 9 u - 6}{x - 9}$

Etapa 5.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{u (3 u + 2) - 3 (3 u + 2)}{x - 9}$

Etapa 5.4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 u + 2$ .

$\frac{(3 u + 2) (u - 3)}{x - 9}$

Etapa 5.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{\frac{1}{2}} - 3)}{x - 9}$