Matemática discreta Exemplos

$\frac{256 x^{2} - y^{2}}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}}$

Etapa 1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva $256 x^{2}$ como ${(16 x)}^{2}$ .

$\frac{{(16 x)}^{2} - y^{2}}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}}$

Etapa 1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 16 x$ e $b = y$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y)}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}}$

Etapa 2

Multiplique $\frac{(16 x + y) (16 x - y)}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y)}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}}$

Etapa 3

Multiplique $\frac{(16 x + y) (16 x - y)}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}$

Etapa 4

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{{\sqrt[4]{x}}^{2} + \sqrt[4]{x y^{2}} - \sqrt[4]{x y^{2}} - {\sqrt{y}}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reescreva ${\sqrt[4]{x}}^{2}$ como $\sqrt{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{{(x^{\frac{1}{4}})}^{2} - {\sqrt{y}}^{2}}$

Etapa 5.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{x^{\frac{1}{4} \cdot 2} - {\sqrt{y}}^{2}}$

Etapa 5.1.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $2$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{x^{\frac{2}{4}} - {\sqrt{y}}^{2}}$

Etapa 5.1.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{x^{\frac{2 (1)}{4}} - {\sqrt{y}}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - {\sqrt{y}}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - {\sqrt{y}}^{2}}$

Etapa 5.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{x^{\frac{1}{2}} - {\sqrt{y}}^{2}}$

Etapa 5.1.5

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - {\sqrt{y}}^{2}}$

Etapa 5.2

Reescreva ${\sqrt{y}}^{2}$ como $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y^{1}}$

Etapa 5.2.5

Simplifique.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y}$

Etapa 6

Multiplique $\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y}$ por $\frac{\sqrt{x} + y}{\sqrt{x} + y}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y} \cdot \frac{\sqrt{x} + y}{\sqrt{x} + y}$

Etapa 7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y}$ por $\frac{\sqrt{x} + y}{\sqrt{x} + y}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{(\sqrt{x} - y) (\sqrt{x} + y)}$

Etapa 7.2

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{{\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} y - y \sqrt{x} - y^{2}}$

Etapa 7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - y^{2}}$

Etapa 7.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y^{2}}$

Etapa 7.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{x^{\frac{2}{2}} - y^{2}}$

Etapa 7.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{x^{\frac{2}{2}} - y^{2}}$

Etapa 7.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{x^{1} - y^{2}}$

Etapa 7.3.5

Simplifique.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{x - y^{2}}$

Etapa 7.4

Agrupe $\sqrt{x} + y$ e $\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) ((\sqrt{x} + y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}))}{x - y^{2}}$

Etapa 8

Expanda $(\sqrt{x} + y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})$ usando o método FOIL.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt{x} (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) + y (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}))}{x - y^{2}}$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt{x} \sqrt[4]{x} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}))}{x - y^{2}}$

Etapa 8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt{x} \sqrt[4]{x} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

Etapa 9

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1

Multiplique $\sqrt{x} \sqrt[4]{x}$ .

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Etapa 9.1.1

Reescreva a expressão usando o menor índice comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} \sqrt[4]{x} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

Etapa 9.1.1.2

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $x^{\frac{2}{4}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{2}{4}} \sqrt[4]{x} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

Etapa 9.1.1.3

Reescreva $x^{\frac{2}{4}}$ como $\sqrt[4]{x^{2}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x^{2}} \sqrt[4]{x} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

Etapa 9.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x^{2} x} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

Etapa 9.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x^{2} x^{1}} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

Etapa 9.1.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x^{2 + 1}} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

Etapa 9.1.3.2

Some $2$ e $1$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x^{3}} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

Etapa 9.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x^{3}} + \sqrt{x y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

Etapa 10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + \sqrt{x y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

Etapa 10.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x y}$ como ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + {(x y)}^{\frac{1}{2}} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

Etapa 10.3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + {(x y)}^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

Etapa 10.4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + {(x y)}^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y \cdot y^{\frac{1}{2}})}{x - y^{2}}$

Etapa 10.5

Aplique a regra do produto a $x y$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y \cdot y^{\frac{1}{2}})}{x - y^{2}}$

Etapa 10.6

Multiplique $y$ por $y^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.6.1

Multiplique $y$ por $y^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.6.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{1} y^{\frac{1}{2}})}{x - y^{2}}$

Etapa 10.6.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{1 + \frac{1}{2}})}{x - y^{2}}$

Etapa 10.6.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}{x - y^{2}}$

Etapa 10.6.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{2 + 1}{2}})}{x - y^{2}}$

Etapa 10.6.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{3}{2}})}{x - y^{2}}$

Etapa 10.7

Reescreva $x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{3}{2}}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.7.1

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.7.1.1

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{3}{2}})}{x - y^{2}}$

Etapa 10.7.1.2

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}}) + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{3}{2}})}{x - y^{2}}$

Etapa 10.7.1.3

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{3}{2}})}{x - y^{2}}$

Etapa 10.7.2

Fatore $y$ de $y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.7.2.1

Fatore $y$ de $y x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) + y (x^{\frac{1}{4}}) + y^{\frac{3}{2}})}{x - y^{2}}$

Etapa 10.7.2.2

Fatore $y$ de $y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) + y (x^{\frac{1}{4}}) + y \cdot y^{\frac{1}{2}})}{x - y^{2}}$

Etapa 10.7.2.3

Fatore $y$ de $y (x^{\frac{1}{4}}) + y \cdot y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) + y (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}))}{x - y^{2}}$

Etapa 10.7.3

Fatore $x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) + y (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.7.3.1

Fatore $x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) ((x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} + y (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}))}{x - y^{2}}$

Etapa 10.7.3.2

Fatore $x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}$ de $y (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) ((x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} + (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) y)}{x - y^{2}}$

Etapa 10.7.3.3

Fatore $x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}$ de $(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} + (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) y$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) ((x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) (x^{\frac{1}{2}} + y))}{x - y^{2}}$

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) (x^{\frac{1}{2}} + y)}{x - y^{2}}$