Matemática discreta Exemplos

$2 x^{\frac{2}{3}} - 11 x^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

Etapa 1

Reescreva $x^{\frac{2}{3}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$2 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 11 x^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

Etapa 2

Deixe $u = x^{\frac{1}{3}}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 u^{2} - 11 u - 6 = 0$

Etapa 3

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ e cuja soma é $b = - 11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $- 11$ de $- 11 u$ .

$2 u^{2} - 11 u - 6 = 0$

Etapa 3.1.2

Reescreva $- 11$ como $1$ mais $- 12$

$2 u^{2} + (1 - 12) u - 6 = 0$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 u^{2} + 1 u - 12 u - 6 = 0$

Etapa 3.1.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$2 u^{2} + u - 12 u - 6 = 0$

Etapa 3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 u^{2} + u) - 12 u - 6 = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (2 u + 1) - 6 (2 u + 1) = 0$

Etapa 3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (u - 6) = 0$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$(2 x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 6) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

Etapa 6

Defina $2 x^{\frac{1}{3}} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina $2 x^{\frac{1}{3}} + 1$ como igual a $0$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $2 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Etapa 6.2.2

Eleve cada lado da equação à potência de $3$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1

Simplifique ${(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1.1

Aplique a regra do produto a $2 x^{\frac{1}{3}}$ .

$2^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Etapa 6.2.3.1.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Etapa 6.2.3.1.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Etapa 6.2.3.1.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Etapa 6.2.3.1.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$8 x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Etapa 6.2.3.1.1.4

Simplifique.

$8 x = {(- 1)}^{3}$

Etapa 6.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$8 x = - 1$

Etapa 6.2.4

Divida cada termo em $8 x = - 1$ por $8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1

Divida cada termo em $8 x = - 1$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Etapa 6.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Etapa 6.2.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{8}$

Etapa 6.2.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{8}$

Etapa 7

Defina $x^{\frac{1}{3}} - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Defina $x^{\frac{1}{3}} - 6$ como igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

Etapa 7.2

Resolva $x^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x^{\frac{1}{3}} = 6$

Etapa 7.2.2

Eleve cada lado da equação à potência de $3$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 6^{3}$

Etapa 7.2.3

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

Etapa 7.2.3.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

Etapa 7.2.3.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 6^{3}$

Etapa 7.2.3.1.1.2

Simplifique.

$x = 6^{3}$

Etapa 7.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.2.1

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$x = 216$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 6) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{8}, 216$