Matemática discreta Exemplos

$16000 {(1 + r)}^{2} = 25000$

Etapa 1

Subtraia $25000$ dos dois lados da equação.

$16000 {(1 + r)}^{2} - 25000 = 0$

Etapa 2

Simplifique $16000 {(1 + r)}^{2} - 25000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reescreva ${(1 + r)}^{2}$ como $(1 + r) (1 + r)$ .

$16000 ((1 + r) (1 + r)) - 25000 = 0$

Etapa 2.1.2

Expanda $(1 + r) (1 + r)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$16000 (1 (1 + r) + r (1 + r)) - 25000 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$16000 (1 \cdot 1 + 1 r + r (1 + r)) - 25000 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$16000 (1 \cdot 1 + 1 r + r \cdot 1 + r \cdot r) - 25000 = 0$

Etapa 2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$16000 (1 + 1 r + r \cdot 1 + r \cdot r) - 25000 = 0$

Etapa 2.1.3.1.2

Multiplique $r$ por $1$ .

$16000 (1 + r + r \cdot 1 + r \cdot r) - 25000 = 0$

Etapa 2.1.3.1.3

Multiplique $r$ por $1$ .

$16000 (1 + r + r + r \cdot r) - 25000 = 0$

Etapa 2.1.3.1.4

Multiplique $r$ por $r$ .

$16000 (1 + r + r + r^{2}) - 25000 = 0$

Etapa 2.1.3.2

Some $r$ e $r$ .

$16000 (1 + 2 r + r^{2}) - 25000 = 0$

Etapa 2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$16000 \cdot 1 + 16000 (2 r) + 16000 r^{2} - 25000 = 0$

Etapa 2.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Multiplique $16000$ por $1$ .

$16000 + 16000 (2 r) + 16000 r^{2} - 25000 = 0$

Etapa 2.1.5.2

Multiplique $2$ por $16000$ .

$16000 + 32000 r + 16000 r^{2} - 25000 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $25000$ de $16000$ .

$32000 r + 16000 r^{2} - 9000 = 0$

Etapa 3

Fatore $1000$ de $32000 r + 16000 r^{2} - 9000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore $1000$ de $32000 r$ .

$1000 (32 r) + 16000 r^{2} - 9000 = 0$

Etapa 3.2

Fatore $1000$ de $16000 r^{2}$ .

$1000 (32 r) + 1000 (16 r^{2}) - 9000 = 0$

Etapa 3.3

Fatore $1000$ de $- 9000$ .

$1000 (32 r) + 1000 (16 r^{2}) + 1000 (- 9) = 0$

Etapa 3.4

Fatore $1000$ de $1000 (32 r) + 1000 (16 r^{2})$ .

$1000 (32 r + 16 r^{2}) + 1000 (- 9) = 0$

Etapa 3.5

Fatore $1000$ de $1000 (32 r + 16 r^{2}) + 1000 (- 9)$ .

$1000 (32 r + 16 r^{2} - 9) = 0$

Etapa 4

Deixe $u = r$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $r$ .

$1000 (32 u + 16 u^{2} - 9) = 0$

Etapa 5

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reordene os termos.

$1000 (16 u^{2} + 32 u - 9) = 0$

Etapa 5.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 16 \cdot - 9 = - 144$ e cuja soma é $b = 32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $32$ de $32 u$ .

$1000 (16 u^{2} + 32 (u) - 9) = 0$

Etapa 5.2.2

Reescreva $32$ como $- 4$ mais $36$

$1000 (16 u^{2} + (- 4 + 36) u - 9) = 0$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1000 (16 u^{2} - 4 u + 36 u - 9) = 0$

Etapa 5.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$1000 ((16 u^{2} - 4 u) + 36 u - 9) = 0$

Etapa 5.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$1000 (4 u (4 u - 1) + 9 (4 u - 1)) = 0$

Etapa 5.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 u - 1$ .

$1000 ((4 u - 1) (4 u + 9)) = 0$

Etapa 6

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $r$ .

$1000 ((4 r - 1) (4 r + 9)) = 0$

Etapa 6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$1000 (4 r - 1) (4 r + 9) = 0$

Etapa 7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 r - 1 = 0$

$4 r + 9 = 0$

Etapa 8

Defina $4 r - 1$ como igual a $0$ e resolva para $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Defina $4 r - 1$ como igual a $0$ .

$4 r - 1 = 0$

Etapa 8.2

Resolva $4 r - 1 = 0$ para $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$4 r = 1$

Etapa 8.2.2

Divida cada termo em $4 r = 1$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Divida cada termo em $4 r = 1$ por $4$ .

$\frac{4 r}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 8.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 r}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 8.2.2.2.1.2

Divida $r$ por $1$ .

$r = \frac{1}{4}$

Etapa 9

Defina $4 r + 9$ como igual a $0$ e resolva para $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Defina $4 r + 9$ como igual a $0$ .

$4 r + 9 = 0$

Etapa 9.2

Resolva $4 r + 9 = 0$ para $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$4 r = - 9$

Etapa 9.2.2

Divida cada termo em $4 r = - 9$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Divida cada termo em $4 r = - 9$ por $4$ .

$\frac{4 r}{4} = \frac{- 9}{4}$

Etapa 9.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 r}{4} = \frac{- 9}{4}$

Etapa 9.2.2.2.1.2

Divida $r$ por $1$ .

$r = \frac{- 9}{4}$

Etapa 9.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$r = - \frac{9}{4}$

Etapa 10

A solução final são todos os valores que tornam $1000 (4 r - 1) (4 r + 9) = 0$ verdadeiro.

$r = \frac{1}{4}, - \frac{9}{4}$