Matemática discreta Exemplos

$5 z^{\frac{13}{5}} - 31 z^{\frac{8}{5}} + 6 z^{\frac{3}{5}} = 0$

Etapa 1

Fatore $z^{\frac{3}{5}}$ de $5 z^{\frac{13}{5}} - 31 z^{\frac{8}{5}} + 6 z^{\frac{3}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $z^{\frac{3}{5}}$ de $5 z^{\frac{13}{5}}$ .

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}}) - 31 z^{\frac{8}{5}} + 6 z^{\frac{3}{5}} = 0$

Etapa 1.2

Fatore $z^{\frac{3}{5}}$ de $- 31 z^{\frac{8}{5}}$ .

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} (- 31 z^{\frac{5}{5}}) + 6 z^{\frac{3}{5}} = 0$

Etapa 1.3

Fatore $z^{\frac{3}{5}}$ de $6 z^{\frac{3}{5}}$ .

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} (- 31 z^{\frac{5}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} \cdot 6 = 0$

Etapa 1.4

Fatore $z^{\frac{3}{5}}$ de $z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} (- 31 z^{\frac{5}{5}})$ .

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} - 31 z^{\frac{5}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} \cdot 6 = 0$

Etapa 1.5

Fatore $z^{\frac{3}{5}}$ de $z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} - 31 z^{\frac{5}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} \cdot 6$ .

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} - 31 z^{\frac{5}{5}} + 6) = 0$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 5 \cdot 6 = 30$ e cuja soma é $b = - 31$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Fatore $- 31$ de $- 31 z^{\frac{5}{5}}$ .

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} - 31 z^{\frac{5}{5}} + 6) = 0$

Etapa 2.1.2

Reescreva $- 31$ como $- 1$ mais $- 30$

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} + (- 1 - 30) z^{\frac{5}{5}} + 6) = 0$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} - 1 z^{\frac{5}{5}} - 30 z^{\frac{5}{5}} + 6) = 0$

Etapa 2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$z^{\frac{3}{5}} ((5 z^{\frac{10}{5}} - 1 z^{\frac{5}{5}}) - 30 z^{\frac{5}{5}} + 6) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$z^{\frac{3}{5}} (z^{\frac{5}{5}} (5 z^{\frac{5}{5}} - 1) - 6 (5 z^{\frac{5}{5}} - 1)) = 0$

Etapa 2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $5 z^{\frac{5}{5}} - 1$ .

$z^{\frac{3}{5}} ((5 z^{\frac{5}{5}} - 1) (z^{\frac{5}{5}} - 6)) = 0$

Etapa 3

Divida $5$ por $5$ .

$z^{\frac{3}{5}} ((5 z - 1) (z^{\frac{5}{5}} - 6)) = 0$

Etapa 4

Divida $5$ por $5$ .

$z^{\frac{3}{5}} ((5 z - 1) (z - 6)) = 0$

Etapa 5

Remova os parênteses desnecessários.

$z^{\frac{3}{5}} (5 z - 1) (z - 6) = 0$

Etapa 6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$z^{\frac{3}{5}} = 0$

$5 z - 1 = 0$

$z - 6 = 0$

Etapa 7

Defina $z^{\frac{3}{5}}$ como igual a $0$ e resolva para $z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Defina $z^{\frac{3}{5}}$ como igual a $0$ .

$z^{\frac{3}{5}} = 0$

Etapa 7.2

Resolva $z^{\frac{3}{5}} = 0$ para $z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{5}{3}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1

Simplifique ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Etapa 7.2.2.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Etapa 7.2.2.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{3}}$

Etapa 7.2.2.1.1.1.3

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{3}}$

Etapa 7.2.2.1.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$z^{1} = 0^{\frac{5}{3}}$

Etapa 7.2.2.1.1.2

Simplifique.

$z = 0^{\frac{5}{3}}$

Etapa 7.2.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1

Simplifique $0^{\frac{5}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$z = {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}$

Etapa 7.2.2.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = 0^{3 (\frac{5}{3})}$

Etapa 7.2.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$z = 0^{3 (\frac{5}{3})}$

Etapa 7.2.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$z = 0^{5}$

Etapa 7.2.2.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$z = 0$

Etapa 8

Defina $5 z - 1$ como igual a $0$ e resolva para $z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Defina $5 z - 1$ como igual a $0$ .

$5 z - 1 = 0$

Etapa 8.2

Resolva $5 z - 1 = 0$ para $z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$5 z = 1$

Etapa 8.2.2

Divida cada termo em $5 z = 1$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Divida cada termo em $5 z = 1$ por $5$ .

$\frac{5 z}{5} = \frac{1}{5}$

Etapa 8.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 z}{5} = \frac{1}{5}$

Etapa 8.2.2.2.1.2

Divida $z$ por $1$ .

$z = \frac{1}{5}$

Etapa 9

Defina $z - 6$ como igual a $0$ e resolva para $z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Defina $z - 6$ como igual a $0$ .

$z - 6 = 0$

Etapa 9.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$z = 6$

Etapa 10

A solução final são todos os valores que tornam $z^{\frac{3}{5}} (5 z - 1) (z - 6) = 0$ verdadeiro.

$z = 0, \frac{1}{5}, 6$