Matemática discreta Exemplos

$\ln (x) + \ln (x + 1) = \ln (6)$

Etapa 1

Subtraia $\ln (6)$ dos dois lados da equação.

$\ln (x) + \ln (x + 1) - \ln (6) = 0$

Etapa 2

Simplifique $\ln (x) + \ln (x + 1) - \ln (6)$ .

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Etapa 2.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 1)) - \ln (6) = 0$

Etapa 2.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x (x + 1)}{6}) = 0$

Etapa 3

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{x (x + 1)}{6})} = e^{0}$

Etapa 4

Reescreva $\ln (\frac{x (x + 1)}{6}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x (x + 1)}{6}$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $\frac{x (x + 1)}{6} = e^{0}$ .

$\frac{x (x + 1)}{6} = e^{0}$

Etapa 5.2

Multiplique os dois lados da equação por $6$ .

$6 \frac{x (x + 1)}{6} = 6 e^{0}$

Etapa 5.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 5.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1.1

Simplifique $6 \frac{x (x + 1)}{6}$ .

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Etapa 5.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 5.3.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$6 \frac{x (x + 1)}{6} = 6 e^{0}$

Etapa 5.3.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x (x + 1) = 6 e^{0}$

Etapa 5.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 1 = 6 e^{0}$

Etapa 5.3.1.1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.1.1.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 = 6 e^{0}$

Etapa 5.3.1.1.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$x^{2} + x = 6 e^{0}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.1

Simplifique $6 e^{0}$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x^{2} + x = 6 \cdot 1$

Etapa 5.3.2.1.2

Multiplique $6$ por $1$ .

$x^{2} + x = 6$

Etapa 5.4

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + x - 6 = 0$

Etapa 5.5

Fatore $x^{2} + x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 5.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $1$ .

$- 2, 3$

Etapa 5.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Etapa 5.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 5.7

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.7.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 5.7.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 5.8

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.8.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 5.8.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 5.9

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 2) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 3$